Pourquoi les périodes de n/5 en base 2+5n se regroupent elles en cette série ?

1-2===4-3

Calculons 1/5 en base 2+5n (2, 7, 12, ...) :

1/5 en base 2 = 0,00===11...

1/5 en base 7 = 0,12===54...

1/5 en base 12 = 0,2-4===9-7...

Et de manière générale en base 2+5n :

[n][2n]===[1+4n][1+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2===4-3

Qui partage le cercle en 5 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 5 

Calcul de 1/5 en base 3+5n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 3+5n. La série est alors :

1-3===4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+5n.

Calculons 1/5 en base : 3, 8, 13, ...(3+5n) :

1/5 en base 3 = 0,01===21...

1/5 en base 8 = 0,14===63...

1/5 en base 13 = 0,2-7===10-5...

Et de manière générale en base 3+5n :

[n][1+3n]===[2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3===4-2

Qui partage le cercle en 5 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 5 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+5n.

Constatons que 2x3 admet 1 pour reste dans la division par 5 et qu'ils sont alors inverses dans Z5