Pourquoi les périodes de n/7 en base 3+7n se regroupent elles en cette série ?

1-3-2===6-4-5

Calculons 1/7 en base 3+7n (3, 10, 17, ...) :

1/7 en base 3 = 0,010===212...

1/7 en base 10 = 0,142===857...

1/7 en base 17 = 0,2-7-4===14-9-12...

Et de manière générale en base 3+7n :

[n][1+3n][2n]===[2+6n][1+4n][2+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3-2===6-4-5

Qui partage le cercle en 7 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 7 

Calcul de 1/7 en base 5+7n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 5+7n. La série est alors :

1-5-4===6-2-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+7n.

Calculons 1/7 en base : 5, 12, 19, ...(5+7n) :

1/7 en base 5 = 0,032===412...

1/7 en base 12 = 0,1-8-6===10-3-5...

1/7 en base 19 = 0,2-13-10===16-5-8...

Et de manière générale en base 5+7n :

[n][3+5n][2+4n]===[4+6n][1+2n][2+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-4===6-2-3

Qui partage le cercle en 7 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 7 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+7n.

Constatons que 3x5 admet 1 pour reste dans la division par 7 et qu'ils sont alors inverses dans Z7