Pourquoi les périodes de n/11 en base 2+11n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-5===10-9-7-3-6

Calculons 1/11 en base 2+11n (2, 13, 24, ...) :

1/11 en base 2 = 0,00010===11101...

1/11 en base 13 = 0,1-2-4-9-5===11-10-8-3-7...

1/11 en base 24 = 0,2-4-8-17-10===21-19-15-6-13...

Et de manière générale en base 2+11n :

[n][2n][4n][1+8n][5n]===[1+10n][1+9n][1+7n][3n][1+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-5===10-9-7-3-6

Qui partage le cercle en 11 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 11 

Calcul de 1/11 en base 6+11n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 6+11n. La série est alors :

1-6-3-7-9===10-5-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+11n.

Calculons 1/11 en base : 6, 17, 28, ...(6+11n) :

1/11 en base 6 = 0,03134===52421...

1/11 en base 17 = 0,1-9-4-10-13===15-7-12-6-3...

1/11 en base 28 = 0,2-15-7-17-22===25-12-20-10-5...

Et de manière générale en base 6+11n :

[n][3+6n][1+3n][3+7n][4+9n]===[5+10n][2+5n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-6-3-7-9===10-5-8-4-2

Qui partage le cercle en 11 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 11 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+11n.

Constatons que 2x6 admet 1 pour reste dans la division par 11 et qu'ils sont alors inverses dans Z11