Pourquoi les périodes de n/11 en base 7+11n se regroupent elles en cette série ?

1-7-5-2-3===10-4-6-9-8

Calculons 1/11 en base 7+11n (7, 18, 29, ...) :

1/11 en base 7 = 0,04311===62355...

1/11 en base 18 = 0,1-11-8-3-4===16-6-9-14-13...

1/11 en base 29 = 0,2-18-13-5-7===26-10-15-23-21...

Et de manière générale en base 7+11n :

[n][4+7n][3+5n][1+2n][1+3n]===[6+10n][2+4n][3+6n][5+9n][5+8n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-7-5-2-3===10-4-6-9-8

Qui partage le cercle en 11 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 11 

Calcul de 1/11 en base 8+11n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 8+11n. La série est alors :

1-8-9-6-4===10-3-2-5-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+11n.

Calculons 1/11 en base : 8, 19, 30, ...(8+11n) :

1/11 en base 8 = 0,05642===72135...

1/11 en base 19 = 0,1-13-15-10-6===17-5-3-8-12...

1/11 en base 30 = 0,2-21-24-16-10===27-8-5-13-19...

Et de manière générale en base 8+11n :

[n][5+8n][6+9n][4+6n][2+4n]===[7+10n][2+3n][1+2n][3+5n][5+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-8-9-6-4===10-3-2-5-7

Qui partage le cercle en 11 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 8 modulo 11 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+11n.

Constatons que 7x8 admet 1 pour reste dans la division par 11 et qu'ils sont alors inverses dans Z11