Pourquoi les périodes de n/13 en base 2+13n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-3-6===12-11-9-5-10-7

Calculons 1/13 en base 2+13n (2, 15, 28, ...) :

1/13 en base 2 = 0,000100===111011...

1/13 en base 15 = 0,1-2-4-9-3-6===13-12-10-5-11-8...

1/13 en base 28 = 0,2-4-8-17-6-12===25-23-19-10-21-15...

Et de manière générale en base 2+13n :

[n][2n][4n][1+8n][3n][6n]===[1+12n][1+11n][1+9n][5n][1+10n][1+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-3-6===12-11-9-5-10-7

Qui partage le cercle en 13 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 13 

Calcul de 1/13 en base 7+13n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 7+13n. La série est alors :

1-7-10-5-9-11===12-6-3-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+13n.

Calculons 1/13 en base : 7, 20, 33, ...(7+13n) :

1/13 en base 7 = 0,035245===631421...

1/13 en base 20 = 0,1-10-15-7-13-16===18-9-4-12-6-3...

1/13 en base 33 = 0,2-17-25-12-22-27===30-15-7-20-10-5...

Et de manière générale en base 7+13n :

[n][3+7n][5+10n][2+5n][4+9n][5+11n]===[6+12n][3+6n][1+3n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-7-10-5-9-11===12-6-3-8-4-2

Qui partage le cercle en 13 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 13 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+13n.

Constatons que 2x7 admet 1 pour reste dans la division par 13 et qu'ils sont alors inverses dans Z13