Pourquoi les périodes de n/13 en base 6+13n se regroupent elles en cette série ?

1-6-10-8-9-2===12-7-3-5-4-11

Calculons 1/13 en base 6+13n (6, 19, 32, ...) :

1/13 en base 6 = 0,024340===531215...

1/13 en base 19 = 0,1-8-14-11-13-2===17-10-4-7-5-16...

1/13 en base 32 = 0,2-14-24-19-22-4===29-17-7-12-9-27...

Et de manière générale en base 6+13n :

[n][2+6n][4+10n][3+8n][4+9n][2n]===[5+12n][3+7n][1+3n][2+5n][1+4n][5+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-6-10-8-9-2===12-7-3-5-4-11

Qui partage le cercle en 13 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 13 

Calcul de 1/13 en base 11+13n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 11+13n. La série est alors :

1-11-4-5-3-7===12-2-9-8-10-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+13n.

Calculons 1/13 en base : 11, 24, 37, ...(11+13n) :

1/13 en base 11 = 0,0-9-3-4-2-5===10-1-7-6-8-5...

1/13 en base 24 = 0,1-20-7-9-5-12===22-3-16-14-18-11...

1/13 en base 37 = 0,2-31-11-14-8-19===34-5-25-22-28-17...

Et de manière générale en base 11+13n :

[n][9+11n][3+4n][4+5n][2+3n][5+7n]===[10+12n][1+2n][7+9n][6+8n][8+10n][5+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-4-5-3-7===12-2-9-8-10-6

Qui partage le cercle en 13 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 13 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+13n.

Constatons que 6x11 admet 1 pour reste dans la division par 13 et qu'ils sont alors inverses dans Z13