Pourquoi les périodes de n/17 en base 3+17n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-10-13-5-15-11===16-14-8-7-4-12-2-6

Calculons 1/17 en base 3+17n (3, 20, 37, ...) :

1/17 en base 3 = 0,00112021===22110201...

1/17 en base 20 = 0,1-3-10-11-15-5-17-12===18-16-9-8-4-14-2-7...

1/17 en base 37 = 0,2-6-19-21-28-10-32-23===34-30-17-15-8-26-4-13...

Et de manière générale en base 3+17n :

[n][3n][1+9n][1+10n][2+13n][5n][2+15n][1+11n]===[2+16n][2+14n][1+8n][1+7n][4n][2+12n][2n][1+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3-9-10-13-5-15-11===16-14-8-7-4-12-2-6

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 17 

Calcul de 1/17 en base 6+17n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 6+17n. La série est alors :

1-6-2-12-4-7-8-14===16-11-15-5-13-10-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+17n.

Calculons 1/17 en base : 6, 23, 40, ...(6+17n) :

1/17 en base 6 = 0,02041224===53514331...

1/17 en base 23 = 0,1-8-2-16-5-9-10-18===21-14-20-6-17-13-12-4...

1/17 en base 40 = 0,2-14-4-28-9-16-18-32===37-25-35-11-30-23-21-7...

Et de manière générale en base 6+17n :

[n][2+6n][2n][4+12n][1+4n][2+7n][2+8n][4+14n]===[5+16n][3+11n][5+15n][1+5n][4+13n][3+10n][3+9n][1+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-6-2-12-4-7-8-14===16-11-15-5-13-10-9-3

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 17 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+17n.

Constatons que 3x6 admet 1 pour reste dans la division par 17 et qu'ils sont alors inverses dans Z17