Pourquoi les périodes de n/17 en base 5+17n se regroupent elles en cette série ?

1-5-8-6-13-14-2-10===16-12-9-11-4-3-15-7

Calculons 1/17 en base 5+17n (5, 22, 39, ...) :

1/17 en base 5 = 0,01213402===43231042...

1/17 en base 22 = 0,1-6-10-7-16-18-2-12===20-15-11-14-5-3-19-9...

1/17 en base 39 = 0,2-11-18-13-29-32-4-22===36-27-20-25-9-6-34-16...

Et de manière générale en base 5+17n :

[n][1+5n][2+8n][1+6n][3+13n][4+14n][2n][2+10n]===[4+16n][3+12n][2+9n][3+11n][1+4n][3n][4+15n][2+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-8-6-13-14-2-10===16-12-9-11-4-3-15-7

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 17 

Calcul de 1/17 en base 7+17n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 7+17n. La série est alors :

1-7-15-3-4-11-9-12===16-10-2-14-13-6-8-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+17n.

Calculons 1/17 en base : 7, 24, 41, ...(7+17n) :

1/17 en base 7 = 0,02611434===64055232...

1/17 en base 24 = 0,1-9-21-4-5-15-12-16===22-14-2-19-18-8-11-7...

1/17 en base 41 = 0,2-16-36-7-9-26-21-28===38-24-4-33-31-14-19-12...

Et de manière générale en base 7+17n :

[n][2+7n][6+15n][1+3n][1+4n][4+11n][3+9n][4+12n]===[6+16n][4+10n][2n][5+14n][5+13n][2+6n][3+8n][2+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-7-15-3-4-11-9-12===16-10-2-14-13-6-8-5

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 17 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+17n.

Constatons que 5x7 admet 1 pour reste dans la division par 17 et qu'ils sont alors inverses dans Z17