Pourquoi les périodes de n/17 en base 10+17n se regroupent elles en cette série ?

1-10-15-14-4-6-9-5===16-7-2-3-13-11-8-12

Calculons 1/17 en base 10+17n (10, 27, 44, ...) :

1/17 en base 10 = 0,05882352===94117647...

1/17 en base 27 = 0,1-15-23-22-6-9-14-7===25-11-3-4-20-17-12-19...

1/17 en base 44 = 0,2-25-38-36-10-15-23-12===41-18-5-7-33-28-20-31...

Et de manière générale en base 10+17n :

[n][5+10n][8+15n][8+14n][2+4n][3+6n][5+9n][2+5n]===[9+16n][4+7n][1+2n][1+3n][7+13n][6+11n][4+8n][7+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-10-15-14-4-6-9-5===16-7-2-3-13-11-8-12

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 17 

Calcul de 1/17 en base 12+17n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 12+17n. La série est alors :

1-12-8-11-13-3-2-7===16-5-9-6-4-14-15-10

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 10+17n.

Calculons 1/17 en base : 12, 29, 46, ...(12+17n) :

1/17 en base 12 = 0,0-8-5-7-9-2-1-4===11-3-6-4-2-9-10-7...

1/17 en base 29 = 0,1-20-13-18-22-5-3-11===27-8-15-10-6-23-25-17...

1/17 en base 46 = 0,2-32-21-29-35-8-5-18===43-13-24-16-10-37-40-27...

Et de manière générale en base 12+17n :

[n][8+12n][5+8n][7+11n][9+13n][2+3n][1+2n][4+7n]===[11+16n][3+5n][6+9n][4+6n][2+4n][9+14n][10+15n][7+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-8-11-13-3-2-7===16-5-9-6-4-14-15-10

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 17 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 10+17n.

Constatons que 10x12 admet 1 pour reste dans la division par 17 et qu'ils sont alors inverses dans Z17