Pourquoi les périodes de n/17 en base 11+17n se regroupent elles en cette série ?

1-11-2-5-4-10-8-3===16-6-15-12-13-7-9-14

Calculons 1/17 en base 11+17n (11, 28, 45, ...) :

1/17 en base 11 = 0,0-7-1-3-2-6-5-1===10-3-9-7-8-4-5-9...

1/17 en base 28 = 0,1-18-3-8-6-16-13-4===26-9-24-19-21-11-14-23...

1/17 en base 45 = 0,2-29-5-13-10-26-21-7===42-15-39-31-34-18-23-37...

Et de manière générale en base 11+17n :

[n][7+11n][1+2n][3+5n][2+4n][6+10n][5+8n][1+3n]===[10+16n][3+6n][9+15n][7+12n][8+13n][4+7n][5+9n][9+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-2-5-4-10-8-3===16-6-15-12-13-7-9-14

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 17 

Calcul de 1/17 en base 14+17n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 14+17n. La série est alors :

1-14-9-7-13-12-15-6===16-3-8-10-4-5-2-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+17n.

Calculons 1/17 en base : 14, 31, 48, ...(14+17n) :

1/17 en base 14 = 0,0-11-7-5-10-9-12-4===13-2-6-8-3-4-1-9...

1/17 en base 31 = 0,1-25-16-12-23-21-27-10===29-5-14-18-7-9-3-20...

1/17 en base 48 = 0,2-39-25-19-36-33-42-16===45-8-22-28-11-14-5-31...

Et de manière générale en base 14+17n :

[n][11+14n][7+9n][5+7n][10+13n][9+12n][12+15n][4+6n]===[13+16n][2+3n][6+8n][8+10n][3+4n][4+5n][1+2n][9+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-14-9-7-13-12-15-6===16-3-8-10-4-5-2-11

Qui partage le cercle en 17 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 17 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+17n.

Constatons que 11x14 admet 1 pour reste dans la division par 17 et qu'ils sont alors inverses dans Z17