Pourquoi les périodes de n/19 en base 2+19n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-13-7-14-9===18-17-15-11-3-6-12-5-10

Calculons 1/19 en base 2+19n (2, 21, 40, ...) :

1/19 en base 2 = 0,000011010===111100101...

1/19 en base 21 = 0,1-2-4-8-17-14-7-15-9===19-18-16-12-3-6-13-5-11...

1/19 en base 40 = 0,2-4-8-16-33-27-14-29-18===37-35-31-23-6-12-25-10-21...

Et de manière générale en base 2+19n :

[n][2n][4n][8n][1+16n][1+13n][7n][1+14n][9n]===[1+18n][1+17n][1+15n][1+11n][3n][6n][1+12n][5n][1+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-16-13-7-14-9===18-17-15-11-3-6-12-5-10

Qui partage le cercle en 19 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 19 

Calcul de 1/19 en base 10+19n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 10+19n. La série est alors :

1-10-5-12-6-3-11-15-17===18-9-14-7-13-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+19n.

Calculons 1/19 en base : 10, 29, 48, ...(10+19n) :

1/19 en base 10 = 0,052631578===947368421...

1/19 en base 29 = 0,1-15-7-18-9-4-16-22-25===27-13-21-10-19-24-12-6-3...

1/19 en base 48 = 0,2-25-12-30-15-7-27-37-42===45-22-35-17-32-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 10+19n :

[n][5+10n][2+5n][6+12n][3+6n][1+3n][5+11n][7+15n][8+17n]===[9+18n][4+9n][7+14n][3+7n][6+13n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-10-5-12-6-3-11-15-17===18-9-14-7-13-16-8-4-2

Qui partage le cercle en 19 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 19 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+19n.

Constatons que 2x10 admet 1 pour reste dans la division par 19 et qu'ils sont alors inverses dans Z19