Pourquoi les périodes de n/19 en base 3+19n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-8-5-15-7-2-6===18-16-10-11-14-4-12-17-13

Calculons 1/19 en base 3+19n (3, 22, 41, ...) :

1/19 en base 3 = 0,001102100===221120122...

1/19 en base 22 = 0,1-3-10-9-5-17-8-2-6===20-18-11-12-16-4-13-19-15...

1/19 en base 41 = 0,2-6-19-17-10-32-15-4-12===38-34-21-23-30-8-25-36-28...

Et de manière générale en base 3+19n :

[n][3n][1+9n][1+8n][5n][2+15n][1+7n][2n][6n]===[2+18n][2+16n][1+10n][1+11n][2+14n][4n][1+12n][2+17n][2+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3-9-8-5-15-7-2-6===18-16-10-11-14-4-12-17-13

Qui partage le cercle en 19 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 19 

Calcul de 1/19 en base 13+19n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 13+19n. La série est alors :

1-13-17-12-4-14-11-10-16===18-6-2-7-15-5-8-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+19n.

Calculons 1/19 en base : 13, 32, 51, ...(13+19n) :

1/19 en base 13 = 0,0-8-11-8-2-9-7-6-10===12-4-1-4-10-3-5-6-2...

1/19 en base 32 = 0,1-21-28-20-6-23-18-16-26===30-10-3-11-25-8-13-15-5...

1/19 en base 51 = 0,2-34-45-32-10-37-29-26-42===48-16-5-18-40-13-21-24-8...

Et de manière générale en base 13+19n :

[n][8+13n][11+17n][8+12n][2+4n][9+14n][7+11n][6+10n][10+16n]===[12+18n][4+6n][1+2n][4+7n][10+15n][3+5n][5+8n][6+9n][2+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-17-12-4-14-11-10-16===18-6-2-7-15-5-8-9-3

Qui partage le cercle en 19 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 19 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+19n.

Constatons que 3x13 admet 1 pour reste dans la division par 19 et qu'ils sont alors inverses dans Z19