Pourquoi les périodes de n/19 en base 14+19n se regroupent elles en cette série ?

1-14-6-8-17-10-7-3-4===18-5-13-11-2-9-12-16-15

Calculons 1/19 en base 14+19n (14, 33, 52, ...) :

1/19 en base 14 = 0,0-10-4-5-12-7-5-2-2===13-3-9-8-1-6-8-11-11...

1/19 en base 33 = 0,1-24-10-13-29-17-12-5-6===31-8-22-19-3-15-20-27-26...

1/19 en base 52 = 0,2-38-16-21-46-27-19-8-10===49-13-35-30-5-24-32-43-41...

Et de manière générale en base 14+19n :

[n][10+14n][4+6n][5+8n][12+17n][7+10n][5+7n][2+3n][2+4n]===[13+18n][3+5n][9+13n][8+11n][1+2n][6+9n][8+12n][11+16n][11+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-14-6-8-17-10-7-3-4===18-5-13-11-2-9-12-16-15

Qui partage le cercle en 19 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 19 

Calcul de 1/19 en base 15+19n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 15+19n. La série est alors :

1-15-16-12-9-2-11-13-5===18-4-3-7-10-17-8-6-14

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 14+19n.

Calculons 1/19 en base : 15, 34, 53, ...(15+19n) :

1/19 en base 15 = 0,0-11-12-9-7-1-8-10-3===14-3-2-5-7-13-6-4-11...

1/19 en base 34 = 0,1-26-28-21-16-3-19-23-8===32-7-5-12-17-30-14-10-25...

1/19 en base 53 = 0,2-41-44-33-25-5-30-36-13===50-11-8-19-27-47-22-16-39...

Et de manière générale en base 15+19n :

[n][11+15n][12+16n][9+12n][7+9n][1+2n][8+11n][10+13n][3+5n]===[14+18n][3+4n][2+3n][5+7n][7+10n][13+17n][6+8n][4+6n][11+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-16-12-9-2-11-13-5===18-4-3-7-10-17-8-6-14

Qui partage le cercle en 19 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 19 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 14+19n.

Constatons que 14x15 admet 1 pour reste dans la division par 19 et qu'ils sont alors inverses dans Z19