Pourquoi les périodes de n/23 en base 5+23n se regroupent elles en cette série ?

1-5-2-10-4-20-8-17-16-11-9===22-18-21-13-19-3-15-6-7-12-14

Calculons 1/23 en base 5+23n (5, 28, 51, ...) :

1/23 en base 5 = 0,01020413321===43424031123...

1/23 en base 28 = 0,1-6-2-12-4-24-9-20-19-13-10===26-21-25-15-23-3-18-7-8-14-17...

1/23 en base 51 = 0,2-11-4-22-8-44-17-37-35-24-19===48-39-46-28-42-6-33-13-15-26-31...

Et de manière générale en base 5+23n :

[n][1+5n][2n][2+10n][4n][4+20n][1+8n][3+17n][3+16n][2+11n][1+9n]===[4+22n][3+18n][4+21n][2+13n][4+19n][3n][3+15n][1+6n][1+7n][2+12n][3+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-2-10-4-20-8-17-16-11-9===22-18-21-13-19-3-15-6-7-12-14

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 23 

Calcul de 1/23 en base 14+23n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 14+23n. La série est alors :

1-14-12-7-6-15-3-19-13-21-18===22-9-11-16-17-8-20-4-10-2-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+23n.

Calculons 1/23 en base : 14, 37, 60, ...(14+23n) :

1/23 en base 14 = 0,0-8-7-4-3-9-1-11-7-12-10===13-5-6-9-10-4-12-2-6-1-3...

1/23 en base 37 = 0,1-22-19-11-9-24-4-30-20-33-28===35-14-17-25-27-12-32-6-16-3-8...

1/23 en base 60 = 0,2-36-31-18-15-39-7-49-33-54-46===57-23-28-41-44-20-52-10-26-5-13...

Et de manière générale en base 14+23n :

[n][8+14n][7+12n][4+7n][3+6n][9+15n][1+3n][11+19n][7+13n][12+21n][10+18n]===[13+22n][5+9n][6+11n][9+16n][10+17n][4+8n][12+20n][2+4n][6+10n][1+2n][3+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-14-12-7-6-15-3-19-13-21-18===22-9-11-16-17-8-20-4-10-2-5

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 23 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+23n.

Constatons que 5x14 admet 1 pour reste dans la division par 23 et qu'ils sont alors inverses dans Z23