Pourquoi les périodes de n/23 en base 7+23n se regroupent elles en cette série ?

1-7-3-21-9-17-4-5-12-15-13===22-16-20-2-14-6-19-18-11-8-10

Calculons 1/23 en base 7+23n (7, 30, 53, ...) :

1/23 en base 7 = 0,02062511343===64604155323...

1/23 en base 30 = 0,1-9-3-27-11-22-5-6-15-19-16===28-20-26-2-18-7-24-23-14-10-13...

1/23 en base 53 = 0,2-16-6-48-20-39-9-11-27-34-29===50-36-46-4-32-13-43-41-25-18-23...

Et de manière générale en base 7+23n :

[n][2+7n][3n][6+21n][2+9n][5+17n][1+4n][1+5n][3+12n][4+15n][3+13n]===[6+22n][4+16n][6+20n][2n][4+14n][1+6n][5+19n][5+18n][3+11n][2+8n][3+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-7-3-21-9-17-4-5-12-15-13===22-16-20-2-14-6-19-18-11-8-10

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 23 

Calcul de 1/23 en base 10+23n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 10+23n. La série est alors :

1-10-8-11-18-19-6-14-2-20-16===22-13-15-12-5-4-17-9-21-3-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+23n.

Calculons 1/23 en base : 10, 33, 56, ...(10+23n) :

1/23 en base 10 = 0,04347826086===95652173913...

1/23 en base 33 = 0,1-14-11-15-25-27-8-20-2-28-22===31-18-21-17-7-5-24-12-30-4-10...

1/23 en base 56 = 0,2-24-19-26-43-46-14-34-4-48-38===53-31-36-29-12-9-41-21-51-7-17...

Et de manière générale en base 10+23n :

[n][4+10n][3+8n][4+11n][7+18n][8+19n][2+6n][6+14n][2n][8+20n][6+16n]===[9+22n][5+13n][6+15n][5+12n][2+5n][1+4n][7+17n][3+9n][9+21n][1+3n][3+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-10-8-11-18-19-6-14-2-20-16===22-13-15-12-5-4-17-9-21-3-7

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 23 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+23n.

Constatons que 7x10 admet 1 pour reste dans la division par 23 et qu'ils sont alors inverses dans Z23