Pourquoi les périodes de n/23 en base 11+23n se regroupent elles en cette série ?

1-11-6-20-13-5-9-7-8-19-2===22-12-17-3-10-18-14-16-15-4-21

Calculons 1/23 en base 11+23n (11, 34, 57, ...) :

1/23 en base 11 = 0,0-5-2-9-6-2-4-3-3-9-0===10-5-8-1-4-8-6-7-7-1-10...

1/23 en base 34 = 0,1-16-8-29-19-7-13-10-11-28-2===32-17-25-4-14-26-20-23-22-5-31...

1/23 en base 57 = 0,2-27-14-49-32-12-22-17-19-47-4===54-29-42-7-24-44-34-39-37-9-52...

Et de manière générale en base 11+23n :

[n][5+11n][2+6n][9+20n][6+13n][2+5n][4+9n][3+7n][3+8n][9+19n][2n]===[10+22n][5+12n][8+17n][1+3n][4+10n][8+18n][6+14n][7+16n][7+15n][1+4n][10+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-6-20-13-5-9-7-8-19-2===22-12-17-3-10-18-14-16-15-4-21

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 23 

Calcul de 1/23 en base 21+23n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 21+23n. La série est alors :

1-21-4-15-16-14-18-10-3-17-12===22-2-19-8-7-9-5-13-20-6-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+23n.

Calculons 1/23 en base : 21, 44, 67, ...(21+23n) :

1/23 en base 21 = 0,0-19-3-13-14-12-16-9-2-15-10===20-1-17-7-6-8-4-11-18-5-10...

1/23 en base 44 = 0,1-40-7-28-30-26-34-19-5-32-22===42-3-36-15-13-17-9-24-38-11-21...

1/23 en base 67 = 0,2-61-11-43-46-40-52-29-8-49-34===64-5-55-23-20-26-14-37-58-17-32...

Et de manière générale en base 21+23n :

[n][19+21n][3+4n][13+15n][14+16n][12+14n][16+18n][9+10n][2+3n][15+17n][10+12n]===[20+22n][1+2n][17+19n][7+8n][6+7n][8+9n][4+5n][11+13n][18+20n][5+6n][10+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-21-4-15-16-14-18-10-3-17-12===22-2-19-8-7-9-5-13-20-6-11

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 23 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+23n.

Constatons que 11x21 admet 1 pour reste dans la division par 23 et qu'ils sont alors inverses dans Z23