Pourquoi les périodes de n/23 en base 15+23n se regroupent elles en cette série ?

1-15-18-17-2-7-13-11-4-14-3===22-8-5-6-21-16-10-12-19-9-20

Calculons 1/23 en base 15+23n (15, 38, 61, ...) :

1/23 en base 15 = 0,0-9-11-11-1-4-8-7-2-9-1===14-5-3-3-13-10-6-7-12-5-13...

1/23 en base 38 = 0,1-24-29-28-3-11-21-18-6-23-4===36-13-8-9-34-26-16-19-31-14-33...

1/23 en base 61 = 0,2-39-47-45-5-18-34-29-10-37-7===58-21-13-15-55-42-26-31-50-23-53...

Et de manière générale en base 15+23n :

[n][9+15n][11+18n][11+17n][1+2n][4+7n][8+13n][7+11n][2+4n][9+14n][1+3n]===[14+22n][5+8n][3+5n][3+6n][13+21n][10+16n][6+10n][7+12n][12+19n][5+9n][13+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-18-17-2-7-13-11-4-14-3===22-8-5-6-21-16-10-12-19-9-20

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 23 

Calcul de 1/23 en base 20+23n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 20+23n. La série est alors :

1-20-9-19-12-10-16-21-6-5-8===22-3-14-4-11-13-7-2-17-18-15

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 15+23n.

Calculons 1/23 en base : 20, 43, 66, ...(20+23n) :

1/23 en base 20 = 0,0-17-7-16-10-8-13-18-5-4-6===19-2-12-3-9-11-6-1-14-15-13...

1/23 en base 43 = 0,1-37-16-35-22-18-29-39-11-9-14===41-5-26-7-20-24-13-3-31-33-28...

1/23 en base 66 = 0,2-57-25-54-34-28-45-60-17-14-22===63-8-40-11-31-37-20-5-48-51-43...

Et de manière générale en base 20+23n :

[n][17+20n][7+9n][16+19n][10+12n][8+10n][13+16n][18+21n][5+6n][4+5n][6+8n]===[19+22n][2+3n][12+14n][3+4n][9+11n][11+13n][6+7n][1+2n][14+17n][15+18n][13+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-9-19-12-10-16-21-6-5-8===22-3-14-4-11-13-7-2-17-18-15

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 23 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 15+23n.

Constatons que 15x20 admet 1 pour reste dans la division par 23 et qu'ils sont alors inverses dans Z23