Pourquoi les périodes de n/23 en base 17+23n se regroupent elles en cette série ?

1-17-13-14-8-21-12-20-18-7-4===22-6-10-9-15-2-11-3-5-16-19

Calculons 1/23 en base 17+23n (17, 40, 63, ...) :

1/23 en base 17 = 0,0-12-9-10-5-15-8-14-13-5-2===16-4-7-6-11-1-8-2-3-11-14...

1/23 en base 40 = 0,1-29-22-24-13-36-20-34-31-12-6===38-10-17-15-26-3-19-5-8-27-33...

1/23 en base 63 = 0,2-46-35-38-21-57-32-54-49-19-10===60-16-27-24-41-5-30-8-13-43-52...

Et de manière générale en base 17+23n :

[n][12+17n][9+13n][10+14n][5+8n][15+21n][8+12n][14+20n][13+18n][5+7n][2+4n]===[16+22n][4+6n][7+10n][6+9n][11+15n][1+2n][8+11n][2+3n][3+5n][11+16n][14+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-17-13-14-8-21-12-20-18-7-4===22-6-10-9-15-2-11-3-5-16-19

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 17 modulo 23 

Calcul de 1/23 en base 19+23n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 19+23n. La série est alors :

1-19-16-5-3-11-2-15-9-10-6===22-4-7-18-20-12-21-8-14-13-17

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 17+23n.

Calculons 1/23 en base : 19, 42, 65, ...(19+23n) :

1/23 en base 19 = 0,0-15-13-4-2-9-1-12-7-8-4===18-3-5-14-16-9-17-6-11-10-14...

1/23 en base 42 = 0,1-34-29-9-5-20-3-27-16-18-10===40-7-12-32-36-21-38-14-25-23-31...

1/23 en base 65 = 0,2-53-45-14-8-31-5-42-25-28-16===62-11-19-50-56-33-59-22-39-36-48...

Et de manière générale en base 19+23n :

[n][15+19n][13+16n][4+5n][2+3n][9+11n][1+2n][12+15n][7+9n][8+10n][4+6n]===[18+22n][3+4n][5+7n][14+18n][16+20n][9+12n][17+21n][6+8n][11+14n][10+13n][14+17n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-19-16-5-3-11-2-15-9-10-6===22-4-7-18-20-12-21-8-14-13-17

Qui partage le cercle en 23 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 23 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 17+23n.

Constatons que 17x19 admet 1 pour reste dans la division par 23 et qu'ils sont alors inverses dans Z23