Pourquoi les périodes de n/29 en base 2+29n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-3-6-12-24-19-9-18-7-14===28-27-25-21-13-26-23-17-5-10-20-11-22-15

Calculons 1/29 en base 2+29n (2, 31, 60, ...) :

1/29 en base 2 = 0,00001000110100===11110111001011...

1/29 en base 31 = 0,1-2-4-8-17-3-6-12-25-20-9-19-7-14===29-28-26-22-13-27-24-18-5-10-21-11-23-16...

1/29 en base 60 = 0,2-4-8-16-33-6-12-24-49-39-18-37-14-28===57-55-51-43-26-53-47-35-10-20-41-22-45-31...

Et de manière générale en base 2+29n :

[n][2n][4n][8n][1+16n][3n][6n][12n][1+24n][1+19n][9n][1+18n][7n][14n]===[1+28n][1+27n][1+25n][1+21n][13n][1+26n][1+23n][1+17n][5n][10n][1+20n][11n][1+22n][1+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-16-3-6-12-24-19-9-18-7-14===28-27-25-21-13-26-23-17-5-10-20-11-22-15

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 29 

Calcul de 1/29 en base 15+29n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 15+29n. La série est alors :

1-15-22-11-20-10-5-17-23-26-13-21-25-27===28-14-7-18-9-19-24-12-6-3-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+29n.

Calculons 1/29 en base : 15, 44, 73, ...(15+29n) :

1/29 en base 15 = 0,0-7-11-5-10-5-2-8-11-13-6-10-12-13===14-7-3-9-4-9-12-6-3-1-8-4-2-1...

1/29 en base 44 = 0,1-22-33-16-30-15-7-25-34-39-19-31-37-40===42-21-10-27-13-28-36-18-9-4-24-12-6-3...

1/29 en base 73 = 0,2-37-55-27-50-25-12-42-57-65-32-52-62-67===70-35-17-45-22-47-60-30-15-7-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 15+29n :

[n][7+15n][11+22n][5+11n][10+20n][5+10n][2+5n][8+17n][11+23n][13+26n][6+13n][10+21n][12+25n][13+27n]===[14+28n][7+14n][3+7n][9+18n][4+9n][9+19n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-22-11-20-10-5-17-23-26-13-21-25-27===28-14-7-18-9-19-24-12-6-3-16-8-4-2

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 29 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+29n.

Constatons que 2x15 admet 1 pour reste dans la division par 29 et qu'ils sont alors inverses dans Z29