Pourquoi les périodes de n/29 en base 3+29n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-27-23-11-4-12-7-21-5-15-16-19===28-26-20-2-6-18-25-17-22-8-24-14-13-10

Calculons 1/29 en base 3+29n (3, 32, 61, ...) :

1/29 en base 3 = 0,00022101020111===22200121202111...

1/29 en base 32 = 0,1-3-9-29-25-12-4-13-7-23-5-16-17-20===30-28-22-2-6-19-27-18-24-8-26-15-14-11...

1/29 en base 61 = 0,2-6-18-56-48-23-8-25-14-44-10-31-33-39===58-54-42-4-12-37-52-35-46-16-50-29-27-21...

Et de manière générale en base 3+29n :

[n][3n][9n][2+27n][2+23n][1+11n][4n][1+12n][7n][2+21n][5n][1+15n][1+16n][1+19n]===[2+28n][2+26n][2+20n][2n][6n][1+18n][2+25n][1+17n][2+22n][8n][2+24n][1+14n][1+13n][1+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3-9-27-23-11-4-12-7-21-5-15-16-19===28-26-20-2-6-18-25-17-22-8-24-14-13-10

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 29 

Calcul de 1/29 en base 10+29n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 10+29n. La série est alors :

1-10-13-14-24-8-22-17-25-18-6-2-20-26===28-19-16-15-5-21-7-12-4-11-23-27-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+29n.

Calculons 1/29 en base : 10, 39, 68, ...(10+29n) :

1/29 en base 10 = 0,03448275862068===96551724137931...

1/29 en base 39 = 0,1-13-17-18-32-10-29-22-33-24-8-2-26-34===37-25-21-20-6-28-9-16-5-14-30-36-12-4...

1/29 en base 68 = 0,2-23-30-32-56-18-51-39-58-42-14-4-46-60===65-44-37-35-11-49-16-28-9-25-53-63-21-7...

Et de manière générale en base 10+29n :

[n][3+10n][4+13n][4+14n][8+24n][2+8n][7+22n][5+17n][8+25n][6+18n][2+6n][2n][6+20n][8+26n]===[9+28n][6+19n][5+16n][5+15n][1+5n][7+21n][2+7n][4+12n][1+4n][3+11n][7+23n][9+27n][3+9n][1+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-10-13-14-24-8-22-17-25-18-6-2-20-26===28-19-16-15-5-21-7-12-4-11-23-27-9-3

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 29 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+29n.

Constatons que 3x10 admet 1 pour reste dans la division par 29 et qu'ils sont alors inverses dans Z29