Pourquoi les périodes de n/29 en base 8+29n se regroupent elles en cette série ?

1-8-6-19-7-27-13-17-20-15-4-3-24-18===28-21-23-10-22-2-16-12-9-14-25-26-5-11

Calculons 1/29 en base 8+29n (8, 37, 66, ...) :

1/29 en base 8 = 0,02151734541064===75626043236713...

1/29 en base 37 = 0,1-10-7-24-8-34-16-21-25-19-5-3-30-22===35-26-29-12-28-2-20-15-11-17-31-33-6-14...

1/29 en base 66 = 0,2-18-13-43-15-61-29-38-45-34-9-6-54-40===63-47-52-22-50-4-36-27-20-31-56-59-11-25...

Et de manière générale en base 8+29n :

[n][2+8n][1+6n][5+19n][1+7n][7+27n][3+13n][4+17n][5+20n][4+15n][1+4n][3n][6+24n][4+18n]===[7+28n][5+21n][6+23n][2+10n][6+22n][2n][4+16n][3+12n][2+9n][3+14n][6+25n][7+26n][1+5n][3+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-8-6-19-7-27-13-17-20-15-4-3-24-18===28-21-23-10-22-2-16-12-9-14-25-26-5-11

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 8 modulo 29 

Calcul de 1/29 en base 11+29n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 11+29n. La série est alors :

1-11-5-26-25-14-9-12-16-2-22-10-23-21===28-18-24-3-4-15-20-17-13-27-7-19-6-8

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 8+29n.

Calculons 1/29 en base : 11, 40, 69, ...(11+29n) :

1/29 en base 11 = 0,0-4-1-9-9-5-3-4-6-0-8-3-8-7===10-6-9-1-1-5-7-6-4-10-2-7-2-3...

1/29 en base 40 = 0,1-15-6-35-34-19-12-16-22-2-30-13-31-28===38-24-33-4-5-20-27-23-17-37-9-26-8-11...

1/29 en base 69 = 0,2-26-11-61-59-33-21-28-38-4-52-23-54-49===66-42-57-7-9-35-47-40-30-64-16-45-14-19...

Et de manière générale en base 11+29n :

[n][4+11n][1+5n][9+26n][9+25n][5+14n][3+9n][4+12n][6+16n][2n][8+22n][3+10n][8+23n][7+21n]===[10+28n][6+18n][9+24n][1+3n][1+4n][5+15n][7+20n][6+17n][4+13n][10+27n][2+7n][7+19n][2+6n][3+8n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-5-26-25-14-9-12-16-2-22-10-23-21===28-18-24-3-4-15-20-17-13-27-7-19-6-8

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 29 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 8+29n.

Constatons que 8x11 admet 1 pour reste dans la division par 29 et qu'ils sont alors inverses dans Z29