Pourquoi les périodes de n/29 en base 14+29n se regroupent elles en cette série ?

1-14-22-18-20-19-5-12-23-3-13-8-25-2===28-15-7-11-9-10-24-17-6-26-16-21-4-27

Calculons 1/29 en base 14+29n (14, 43, 72, ...) :

1/29 en base 14 = 0,0-6-10-8-9-9-2-5-11-1-6-3-12-0===13-7-3-5-4-4-11-8-2-12-7-10-1-13...

1/29 en base 43 = 0,1-20-32-26-29-28-7-17-34-4-19-11-37-2===41-22-10-16-13-14-35-25-8-38-23-31-5-40...

1/29 en base 72 = 0,2-34-54-44-49-47-12-29-57-7-32-19-62-4===69-37-17-27-22-24-59-42-14-64-39-52-9-67...

Et de manière générale en base 14+29n :

[n][6+14n][10+22n][8+18n][9+20n][9+19n][2+5n][5+12n][11+23n][1+3n][6+13n][3+8n][12+25n][2n]===[13+28n][7+15n][3+7n][5+11n][4+9n][4+10n][11+24n][8+17n][2+6n][12+26n][7+16n][10+21n][1+4n][13+27n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-14-22-18-20-19-5-12-23-3-13-8-25-2===28-15-7-11-9-10-24-17-6-26-16-21-4-27

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 29 

Calcul de 1/29 en base 27+29n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 27+29n. La série est alors :

1-27-4-21-16-26-6-17-24-10-9-11-7-15===28-2-25-8-13-3-23-12-5-19-20-18-22-14

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 14+29n.

Calculons 1/29 en base : 27, 56, 85, ...(27+29n) :

1/29 en base 27 = 0,0-25-3-19-14-24-5-15-22-9-8-10-6-13===26-1-23-7-12-2-21-11-4-17-18-16-20-13...

1/29 en base 56 = 0,1-52-7-40-30-50-11-32-46-19-17-21-13-28===54-3-48-15-25-5-44-23-9-36-38-34-42-27...

1/29 en base 85 = 0,2-79-11-61-46-76-17-49-70-29-26-32-20-43===82-5-73-23-38-8-67-35-14-55-58-52-64-41...

Et de manière générale en base 27+29n :

[n][25+27n][3+4n][19+21n][14+16n][24+26n][5+6n][15+17n][22+24n][9+10n][8+9n][10+11n][6+7n][13+15n]===[26+28n][1+2n][23+25n][7+8n][12+13n][2+3n][21+23n][11+12n][4+5n][17+19n][18+20n][16+18n][20+22n][13+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-27-4-21-16-26-6-17-24-10-9-11-7-15===28-2-25-8-13-3-23-12-5-19-20-18-22-14

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 27 modulo 29 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 14+29n.

Constatons que 14x27 admet 1 pour reste dans la division par 29 et qu'ils sont alors inverses dans Z29