Pourquoi les périodes de n/29 en base 18+29n se regroupent elles en cette série ?

1-18-5-3-25-15-9-17-16-27-22-19-23-8===28-11-24-26-4-14-20-12-13-2-7-10-6-21

Calculons 1/29 en base 18+29n (18, 47, 76, ...) :

1/29 en base 18 = 0,0-11-3-1-15-9-5-10-9-16-13-11-14-4===17-6-14-16-2-8-12-7-8-1-4-6-3-13...

1/29 en base 47 = 0,1-29-8-4-40-24-14-27-25-43-35-30-37-12===45-17-38-42-6-22-32-19-21-3-11-16-9-34...

1/29 en base 76 = 0,2-47-13-7-65-39-23-44-41-70-57-49-60-20===73-28-62-68-10-36-52-31-34-5-18-26-15-55...

Et de manière générale en base 18+29n :

[n][11+18n][3+5n][1+3n][15+25n][9+15n][5+9n][10+17n][9+16n][16+27n][13+22n][11+19n][14+23n][4+8n]===[17+28n][6+11n][14+24n][16+26n][2+4n][8+14n][12+20n][7+12n][8+13n][1+2n][4+7n][6+10n][3+6n][13+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-5-3-25-15-9-17-16-27-22-19-23-8===28-11-24-26-4-14-20-12-13-2-7-10-6-21

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 29 

Calcul de 1/29 en base 21+29n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 21+29n. La série est alors :

1-21-6-10-7-2-13-12-20-14-4-26-24-11===28-8-23-19-22-27-16-17-9-15-25-3-5-18

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 18+29n.

Calculons 1/29 en base : 21, 50, 79, ...(21+29n) :

1/29 en base 21 = 0,0-15-4-7-5-1-9-8-14-10-2-18-17-7===20-5-16-13-15-19-11-12-6-10-18-2-3-13...

1/29 en base 50 = 0,1-36-10-17-12-3-22-20-34-24-6-44-41-18===48-13-39-32-37-46-27-29-15-25-43-5-8-31...

1/29 en base 79 = 0,2-57-16-27-19-5-35-32-54-38-10-70-65-29===76-21-62-51-59-73-43-46-24-40-68-8-13-49...

Et de manière générale en base 21+29n :

[n][15+21n][4+6n][7+10n][5+7n][1+2n][9+13n][8+12n][14+20n][10+14n][2+4n][18+26n][17+24n][7+11n]===[20+28n][5+8n][16+23n][13+19n][15+22n][19+27n][11+16n][12+17n][6+9n][10+15n][18+25n][2+3n][3+5n][13+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-21-6-10-7-2-13-12-20-14-4-26-24-11===28-8-23-19-22-27-16-17-9-15-25-3-5-18

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 29 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 18+29n.

Constatons que 18x21 admet 1 pour reste dans la division par 29 et qu'ils sont alors inverses dans Z29