Pourquoi les périodes de n/29 en base 19+29n se regroupent elles en cette série ?

1-19-13-15-24-21-22-12-25-11-6-27-20-3===28-10-16-14-5-8-7-17-4-18-23-2-9-26

Calculons 1/29 en base 19+29n (19, 48, 77, ...) :

1/29 en base 19 = 0,0-12-8-9-15-13-14-7-16-7-3-17-13-1===18-6-10-9-3-5-4-11-2-11-15-1-5-17...

1/29 en base 48 = 0,1-31-21-24-39-34-36-19-41-18-9-44-33-4===46-16-26-23-8-13-11-28-6-29-38-3-14-43...

1/29 en base 77 = 0,2-50-34-39-63-55-58-31-66-29-15-71-53-7===74-26-42-37-13-21-18-45-10-47-61-5-23-69...

Et de manière générale en base 19+29n :

[n][12+19n][8+13n][9+15n][15+24n][13+21n][14+22n][7+12n][16+25n][7+11n][3+6n][17+27n][13+20n][1+3n]===[18+28n][6+10n][10+16n][9+14n][3+5n][5+8n][4+7n][11+17n][2+4n][11+18n][15+23n][1+2n][5+9n][17+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-19-13-15-24-21-22-12-25-11-6-27-20-3===28-10-16-14-5-8-7-17-4-18-23-2-9-26

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 29 

Calcul de 1/29 en base 26+29n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 26+29n. La série est alors :

1-26-9-2-23-18-4-17-7-8-5-14-16-10===28-3-20-27-6-11-25-12-22-21-24-15-13-19

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 19+29n.

Calculons 1/29 en base : 26, 55, 84, ...(26+29n) :

1/29 en base 26 = 0,0-23-8-1-20-16-3-15-6-7-4-12-14-8===25-2-17-24-5-9-22-10-19-18-21-13-11-17...

1/29 en base 55 = 0,1-49-17-3-43-34-7-32-13-15-9-26-30-18===53-5-37-51-11-20-47-22-41-39-45-28-24-36...

1/29 en base 84 = 0,2-75-26-5-66-52-11-49-20-23-14-40-46-28===81-8-57-78-17-31-72-34-63-60-69-43-37-55...

Et de manière générale en base 26+29n :

[n][23+26n][8+9n][1+2n][20+23n][16+18n][3+4n][15+17n][6+7n][7+8n][4+5n][12+14n][14+16n][8+10n]===[25+28n][2+3n][17+20n][24+27n][5+6n][9+11n][22+25n][10+12n][19+22n][18+21n][21+24n][13+15n][11+13n][17+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-26-9-2-23-18-4-17-7-8-5-14-16-10===28-3-20-27-6-11-25-12-22-21-24-15-13-19

Qui partage le cercle en 29 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 29 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 19+29n.

Constatons que 19x26 admet 1 pour reste dans la division par 29 et qu'ils sont alors inverses dans Z29