Pourquoi les périodes de n/31 en base 3+31n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-27-19-26-16-17-20-29-25-13-8-24-10===30-28-22-4-12-5-15-14-11-2-6-18-23-7-21

Calculons 1/31 en base 3+31n (3, 34, 65, ...) :

1/31 en base 3 = 0,000212111221020===222010111001202...

1/31 en base 34 = 0,1-3-9-29-20-28-17-18-21-31-27-14-8-26-10===32-30-24-4-13-5-16-15-12-2-6-19-25-7-23...

1/31 en base 65 = 0,2-6-18-56-39-54-33-35-41-60-52-27-16-50-20===62-58-46-8-25-10-31-29-23-4-12-37-48-14-44...

Et de manière générale en base 3+31n :

[n][3n][9n][2+27n][1+19n][2+26n][1+16n][1+17n][1+20n][2+29n][2+25n][1+13n][8n][2+24n][10n]===[2+30n][2+28n][2+22n][4n][1+12n][5n][1+15n][1+14n][1+11n][2n][6n][1+18n][2+23n][7n][2+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3-9-27-19-26-16-17-20-29-25-13-8-24-10===30-28-22-4-12-5-15-14-11-2-6-18-23-7-21

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 31 

Calcul de 1/31 en base 21+31n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 21+31n. La série est alors :

1-21-7-23-18-6-2-11-14-15-5-12-4-22-28===30-10-24-8-13-25-29-20-17-16-26-19-27-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+31n.

Calculons 1/31 en base : 21, 52, 83, ...(21+31n) :

1/31 en base 21 = 0,0-14-4-15-12-4-1-7-9-10-3-8-2-14-18===20-6-16-5-8-16-19-13-11-10-17-12-18-6-2...

1/31 en base 52 = 0,1-35-11-38-30-10-3-18-23-25-8-20-6-36-46===50-16-40-13-21-41-48-33-28-26-43-31-45-15-5...

1/31 en base 83 = 0,2-56-18-61-48-16-5-29-37-40-13-32-10-58-74===80-26-64-21-34-66-77-53-45-42-69-50-72-24-8...

Et de manière générale en base 21+31n :

[n][14+21n][4+7n][15+23n][12+18n][4+6n][1+2n][7+11n][9+14n][10+15n][3+5n][8+12n][2+4n][14+22n][18+28n]===[20+30n][6+10n][16+24n][5+8n][8+13n][16+25n][19+29n][13+20n][11+17n][10+16n][17+26n][12+19n][18+27n][6+9n][2+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-21-7-23-18-6-2-11-14-15-5-12-4-22-28===30-10-24-8-13-25-29-20-17-16-26-19-27-9-3

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 31 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+31n.

Constatons que 3x21 admet 1 pour reste dans la division par 31 et qu'ils sont alors inverses dans Z31