Pourquoi les périodes de n/31 en base 11+31n se regroupent elles en cette série ?

1-11-28-29-9-6-4-13-19-23-5-24-16-21-14===30-20-3-2-22-25-27-18-12-8-26-7-15-10-17

Calculons 1/31 en base 11+31n (11, 42, 73, ...) :

1/31 en base 11 = 0,0-3-9-10-3-2-1-4-6-8-1-8-5-7-4===10-7-1-0-7-8-9-6-4-2-9-2-5-3-6...

1/31 en base 42 = 0,1-14-37-39-12-8-5-17-25-31-6-32-21-28-18===40-27-4-2-29-33-36-24-16-10-35-9-20-13-23...

1/31 en base 73 = 0,2-25-65-68-21-14-9-30-44-54-11-56-37-49-32===70-47-7-4-51-58-63-42-28-18-61-16-35-23-40...

Et de manière générale en base 11+31n :

[n][3+11n][9+28n][10+29n][3+9n][2+6n][1+4n][4+13n][6+19n][8+23n][1+5n][8+24n][5+16n][7+21n][4+14n]===[10+30n][7+20n][1+3n][2n][7+22n][8+25n][9+27n][6+18n][4+12n][2+8n][9+26n][2+7n][5+15n][3+10n][6+17n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-28-29-9-6-4-13-19-23-5-24-16-21-14===30-20-3-2-22-25-27-18-12-8-26-7-15-10-17

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 31 

Calcul de 1/31 en base 17+31n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 17+31n. La série est alors :

1-17-10-15-7-26-8-12-18-27-25-22-2-3-20===30-14-21-16-24-5-23-19-13-4-6-9-29-28-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+31n.

Calculons 1/31 en base : 17, 48, 79, ...(17+31n) :

1/31 en base 17 = 0,0-9-5-8-3-14-4-6-9-14-13-12-1-1-10===16-7-11-8-13-2-12-10-7-2-3-4-15-15-6...

1/31 en base 48 = 0,1-26-15-23-10-40-12-18-27-41-38-34-3-4-30===46-21-32-24-37-7-35-29-20-6-9-13-44-43-17...

1/31 en base 79 = 0,2-43-25-38-17-66-20-30-45-68-63-56-5-7-50===76-35-53-40-61-12-58-48-33-10-15-22-73-71-28...

Et de manière générale en base 17+31n :

[n][9+17n][5+10n][8+15n][3+7n][14+26n][4+8n][6+12n][9+18n][14+27n][13+25n][12+22n][1+2n][1+3n][10+20n]===[16+30n][7+14n][11+21n][8+16n][13+24n][2+5n][12+23n][10+19n][7+13n][2+4n][3+6n][4+9n][15+29n][15+28n][6+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-17-10-15-7-26-8-12-18-27-25-22-2-3-20===30-14-21-16-24-5-23-19-13-4-6-9-29-28-11

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 17 modulo 31 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+31n.

Constatons que 11x17 admet 1 pour reste dans la division par 31 et qu'ils sont alors inverses dans Z31