Pourquoi les périodes de n/31 en base 12+31n se regroupent elles en cette série ?

1-12-20-23-28-26-2-24-9-15-25-21-4-17-18===30-19-11-8-3-5-29-7-22-16-6-10-27-14-13

Calculons 1/31 en base 12+31n (12, 43, 74, ...) :

1/31 en base 12 = 0,0-4-7-8-10-10-0-9-3-5-9-8-1-6-6===11-7-4-3-1-1-11-2-8-6-2-3-10-5-5...

1/31 en base 43 = 0,1-16-27-31-38-36-2-33-12-20-34-29-5-23-24===41-26-15-11-4-6-40-9-30-22-8-13-37-19-18...

1/31 en base 74 = 0,2-28-47-54-66-62-4-57-21-35-59-50-9-40-42===71-45-26-19-7-11-69-16-52-38-14-23-64-33-31...

Et de manière générale en base 12+31n :

[n][4+12n][7+20n][8+23n][10+28n][10+26n][2n][9+24n][3+9n][5+15n][9+25n][8+21n][1+4n][6+17n][6+18n]===[11+30n][7+19n][4+11n][3+8n][1+3n][1+5n][11+29n][2+7n][8+22n][6+16n][2+6n][3+10n][10+27n][5+14n][5+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-20-23-28-26-2-24-9-15-25-21-4-17-18===30-19-11-8-3-5-29-7-22-16-6-10-27-14-13

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 31 

Calcul de 1/31 en base 13+31n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 13+31n. La série est alors :

1-13-14-27-10-6-16-22-7-29-5-3-8-11-19===30-18-17-4-21-25-15-9-24-2-26-28-23-20-12

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 12+31n.

Calculons 1/31 en base : 13, 44, 75, ...(13+31n) :

1/31 en base 13 = 0,0-5-5-11-4-2-6-9-2-12-2-1-3-4-7===12-7-7-1-8-10-6-3-10-0-10-11-9-8-5...

1/31 en base 44 = 0,1-18-19-38-14-8-22-31-9-41-7-4-11-15-26===42-25-24-5-29-35-21-12-34-2-36-39-32-28-17...

1/31 en base 75 = 0,2-31-33-65-24-14-38-53-16-70-12-7-19-26-45===72-43-41-9-50-60-36-21-58-4-62-67-55-48-29...

Et de manière générale en base 13+31n :

[n][5+13n][5+14n][11+27n][4+10n][2+6n][6+16n][9+22n][2+7n][12+29n][2+5n][1+3n][3+8n][4+11n][7+19n]===[12+30n][7+18n][7+17n][1+4n][8+21n][10+25n][6+15n][3+9n][10+24n][2n][10+26n][11+28n][9+23n][8+20n][5+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-14-27-10-6-16-22-7-29-5-3-8-11-19===30-18-17-4-21-25-15-9-24-2-26-28-23-20-12

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 31 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 12+31n.

Constatons que 12x13 admet 1 pour reste dans la division par 31 et qu'ils sont alors inverses dans Z31