Pourquoi les périodes de n/31 en base 22+31n se regroupent elles en cette série ?

1-22-19-15-20-6-8-21-28-27-5-17-2-13-7===30-9-12-16-11-25-23-10-3-4-26-14-29-18-24

Calculons 1/31 en base 22+31n (22, 53, 84, ...) :

1/31 en base 22 = 0,0-15-13-10-14-4-5-14-19-19-3-12-1-9-4===21-6-8-11-7-17-16-7-2-2-18-9-20-12-17...

1/31 en base 53 = 0,1-37-32-25-34-10-13-35-47-46-8-29-3-22-11===51-15-20-27-18-42-39-17-5-6-44-23-49-30-41...

1/31 en base 84 = 0,2-59-51-40-54-16-21-56-75-73-13-46-5-35-18===81-24-32-43-29-67-62-27-8-10-70-37-78-48-65...

Et de manière générale en base 22+31n :

[n][15+22n][13+19n][10+15n][14+20n][4+6n][5+8n][14+21n][19+28n][19+27n][3+5n][12+17n][1+2n][9+13n][4+7n]===[21+30n][6+9n][8+12n][11+16n][7+11n][17+25n][16+23n][7+10n][2+3n][2+4n][18+26n][9+14n][20+29n][12+18n][17+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-22-19-15-20-6-8-21-28-27-5-17-2-13-7===30-9-12-16-11-25-23-10-3-4-26-14-29-18-24

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 31 

Calcul de 1/31 en base 24+31n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 24+31n. La série est alors :

1-24-18-29-14-26-4-3-10-23-25-11-16-12-9===30-7-13-2-17-5-27-28-21-8-6-20-15-19-22

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 22+31n.

Calculons 1/31 en base : 24, 55, 86, ...(24+31n) :

1/31 en base 24 = 0,0-18-13-22-10-20-3-2-7-17-19-8-12-9-6===23-5-10-1-13-3-20-21-16-6-4-15-11-14-17...

1/31 en base 55 = 0,1-42-31-51-24-46-7-5-17-40-44-19-28-21-15===53-12-23-3-30-8-47-49-37-14-10-35-26-33-39...

1/31 en base 86 = 0,2-66-49-80-38-72-11-8-27-63-69-30-44-33-24===83-19-36-5-47-13-74-77-58-22-16-55-41-52-61...

Et de manière générale en base 24+31n :

[n][18+24n][13+18n][22+29n][10+14n][20+26n][3+4n][2+3n][7+10n][17+23n][19+25n][8+11n][12+16n][9+12n][6+9n]===[23+30n][5+7n][10+13n][1+2n][13+17n][3+5n][20+27n][21+28n][16+21n][6+8n][4+6n][15+20n][11+15n][14+19n][17+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-24-18-29-14-26-4-3-10-23-25-11-16-12-9===30-7-13-2-17-5-27-28-21-8-6-20-15-19-22

Qui partage le cercle en 31 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 31 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 22+31n.

Constatons que 22x24 admet 1 pour reste dans la division par 31 et qu'ils sont alors inverses dans Z31