Pourquoi les périodes de n/37 en base 2+37n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-32-27-17-34-31-25-13-26-15-30-23-9-18===36-35-33-29-21-5-10-20-3-6-12-24-11-22-7-14-28-19

Calculons 1/37 en base 2+37n (2, 39, 76, ...) :

1/37 en base 2 = 0,000001101110101100===111110010001010011...

1/37 en base 39 = 0,1-2-4-8-16-33-28-17-35-32-26-13-27-15-31-24-9-18===37-36-34-30-22-5-10-21-3-6-12-25-11-23-7-14-29-20...

1/37 en base 76 = 0,2-4-8-16-32-65-55-34-69-63-51-26-53-30-61-47-18-36===73-71-67-59-43-10-20-41-6-12-24-49-22-45-14-28-57-39...

Et de manière générale en base 2+37n :

[n][2n][4n][8n][16n][1+32n][1+27n][17n][1+34n][1+31n][1+25n][13n][1+26n][15n][1+30n][1+23n][9n][18n]===[1+36n][1+35n][1+33n][1+29n][1+21n][5n][10n][1+20n][3n][6n][12n][1+24n][11n][1+22n][7n][14n][1+28n][1+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-16-32-27-17-34-31-25-13-26-15-30-23-9-18===36-35-33-29-21-5-10-20-3-6-12-24-11-22-7-14-28-19

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 37 

Calcul de 1/37 en base 19+37n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 19+37n. La série est alors :

1-19-28-14-7-22-11-24-12-6-3-20-10-5-21-29-33-35===36-18-9-23-30-15-26-13-25-31-34-17-27-32-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+37n.

Calculons 1/37 en base : 19, 56, 93, ...(19+37n) :

1/37 en base 19 = 0,0-9-14-7-3-11-5-12-6-3-1-10-5-2-10-14-16-17===18-9-4-11-15-7-13-6-12-15-17-8-13-16-8-4-2-1...

1/37 en base 56 = 0,1-28-42-21-10-33-16-36-18-9-4-30-15-7-31-43-49-52===54-27-13-34-45-22-39-19-37-46-51-25-40-48-24-12-6-3...

1/37 en base 93 = 0,2-47-70-35-17-55-27-60-30-15-7-50-25-12-52-72-82-87===90-45-22-57-75-37-65-32-62-77-85-42-67-80-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 19+37n :

[n][9+19n][14+28n][7+14n][3+7n][11+22n][5+11n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][10+20n][5+10n][2+5n][10+21n][14+29n][16+33n][17+35n]===[18+36n][9+18n][4+9n][11+23n][15+30n][7+15n][13+26n][6+13n][12+25n][15+31n][17+34n][8+17n][13+27n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-19-28-14-7-22-11-24-12-6-3-20-10-5-21-29-33-35===36-18-9-23-30-15-26-13-25-31-34-17-27-32-16-8-4-2

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 37 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+37n.

Constatons que 2x19 admet 1 pour reste dans la division par 37 et qu'ils sont alors inverses dans Z37