Pourquoi les périodes de n/37 en base 5+37n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-14-33-17-11-18-16-6-30-2-10-13-28-29-34-22===36-32-12-23-4-20-26-19-21-31-7-35-27-24-9-8-3-15

Calculons 1/37 en base 5+37n (5, 42, 79, ...) :

1/37 en base 5 = 0,003142122040113342===441302322404331102...

1/37 en base 42 = 0,1-5-28-15-37-19-12-20-18-6-34-2-11-14-31-32-38-24===40-36-13-26-4-22-29-21-23-35-7-39-30-27-10-9-3-17...

1/37 en base 79 = 0,2-10-53-29-70-36-23-38-34-12-64-4-21-27-59-61-72-46===76-68-25-49-8-42-55-40-44-66-14-74-57-51-19-17-6-32...

Et de manière générale en base 5+37n :

[n][5n][3+25n][1+14n][4+33n][2+17n][1+11n][2+18n][2+16n][6n][4+30n][2n][1+10n][1+13n][3+28n][3+29n][4+34n][2+22n]===[4+36n][4+32n][1+12n][3+23n][4n][2+20n][3+26n][2+19n][2+21n][4+31n][7n][4+35n][3+27n][3+24n][1+9n][1+8n][3n][2+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-25-14-33-17-11-18-16-6-30-2-10-13-28-29-34-22===36-32-12-23-4-20-26-19-21-31-7-35-27-24-9-8-3-15

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 37 

Calcul de 1/37 en base 15+37n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 15+37n. La série est alors :

1-15-3-8-9-24-27-35-7-31-21-19-26-20-4-23-12-32===36-22-34-29-28-13-10-2-30-6-16-18-11-17-33-14-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+37n.

Calculons 1/37 en base : 15, 52, 89, ...(15+37n) :

1/37 en base 15 = 0,0-6-1-3-3-9-10-14-2-12-8-7-10-8-1-9-4-12===14-8-13-11-11-5-4-0-12-2-6-7-4-6-13-5-10-2...

1/37 en base 52 = 0,1-21-4-11-12-33-37-49-9-43-29-26-36-28-5-32-16-44===50-30-47-40-39-18-14-2-42-8-22-25-15-23-46-19-35-7...

1/37 en base 89 = 0,2-36-7-19-21-57-64-84-16-74-50-45-62-48-9-55-28-76===86-52-81-69-67-31-24-4-72-14-38-43-26-40-79-33-60-12...

Et de manière générale en base 15+37n :

[n][6+15n][1+3n][3+8n][3+9n][9+24n][10+27n][14+35n][2+7n][12+31n][8+21n][7+19n][10+26n][8+20n][1+4n][9+23n][4+12n][12+32n]===[14+36n][8+22n][13+34n][11+29n][11+28n][5+13n][4+10n][2n][12+30n][2+6n][6+16n][7+18n][4+11n][6+17n][13+33n][5+14n][10+25n][2+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-3-8-9-24-27-35-7-31-21-19-26-20-4-23-12-32===36-22-34-29-28-13-10-2-30-6-16-18-11-17-33-14-25-5

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 37 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+37n.

Constatons que 5x15 admet 1 pour reste dans la division par 37 et qu'ils sont alors inverses dans Z37