Pourquoi les périodes de n/37 en base 13+37n se regroupent elles en cette série ?

1-13-21-14-34-35-11-32-9-6-4-15-10-19-25-29-7-17===36-24-16-23-3-2-26-5-28-31-33-22-27-18-12-8-30-20

Calculons 1/37 en base 13+37n (13, 50, 87, ...) :

1/37 en base 13 = 0,0-4-7-4-11-12-3-11-3-2-1-5-3-6-8-10-2-5===12-8-5-8-1-0-9-1-9-10-11-7-9-6-4-2-10-7...

1/37 en base 50 = 0,1-17-28-18-45-47-14-43-12-8-5-20-13-25-33-39-9-22===48-32-21-31-4-2-35-6-37-41-44-29-36-24-16-10-40-27...

1/37 en base 87 = 0,2-30-49-32-79-82-25-75-21-14-9-35-23-44-58-68-16-39===84-56-37-54-7-4-61-11-65-72-77-51-63-42-28-18-70-47...

Et de manière générale en base 13+37n :

[n][4+13n][7+21n][4+14n][11+34n][12+35n][3+11n][11+32n][3+9n][2+6n][1+4n][5+15n][3+10n][6+19n][8+25n][10+29n][2+7n][5+17n]===[12+36n][8+24n][5+16n][8+23n][1+3n][2n][9+26n][1+5n][9+28n][10+31n][11+33n][7+22n][9+27n][6+18n][4+12n][2+8n][10+30n][7+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-21-14-34-35-11-32-9-6-4-15-10-19-25-29-7-17===36-24-16-23-3-2-26-5-28-31-33-22-27-18-12-8-30-20

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 37 

Calcul de 1/37 en base 20+37n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 20+37n. La série est alors :

1-20-30-8-12-18-27-22-33-31-28-5-26-2-3-23-16-24===36-17-7-29-25-19-10-15-4-6-9-32-11-35-34-14-21-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+37n.

Calculons 1/37 en base : 20, 57, 94, ...(20+37n) :

1/37 en base 20 = 0,0-10-16-4-6-9-14-11-17-16-15-2-14-1-1-12-8-12===19-9-3-15-13-10-5-8-2-3-4-17-5-18-18-7-11-7...

1/37 en base 57 = 0,1-30-46-12-18-27-41-33-50-47-43-7-40-3-4-35-24-36===55-26-10-44-38-29-15-23-6-9-13-49-16-53-52-21-32-20...

1/37 en base 94 = 0,2-50-76-20-30-45-68-55-83-78-71-12-66-5-7-58-40-60===91-43-17-73-63-48-25-38-10-15-22-81-27-88-86-35-53-33...

Et de manière générale en base 20+37n :

[n][10+20n][16+30n][4+8n][6+12n][9+18n][14+27n][11+22n][17+33n][16+31n][15+28n][2+5n][14+26n][1+2n][1+3n][12+23n][8+16n][12+24n]===[19+36n][9+17n][3+7n][15+29n][13+25n][10+19n][5+10n][8+15n][2+4n][3+6n][4+9n][17+32n][5+11n][18+35n][18+34n][7+14n][11+21n][7+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-30-8-12-18-27-22-33-31-28-5-26-2-3-23-16-24===36-17-7-29-25-19-10-15-4-6-9-32-11-35-34-14-21-13

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 37 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+37n.

Constatons que 13x20 admet 1 pour reste dans la division par 37 et qu'ils sont alors inverses dans Z37