Pourquoi les périodes de n/37 en base 17+37n se regroupent elles en cette série ?

1-17-30-29-12-19-27-15-33-6-28-32-26-35-3-14-16-13===36-20-7-8-25-18-10-22-4-31-9-5-11-2-34-23-21-24

Calculons 1/37 en base 17+37n (17, 54, 91, ...) :

1/37 en base 17 = 0,0-7-13-13-5-8-12-6-15-2-12-14-11-16-1-6-7-5===16-9-3-3-11-8-4-10-1-14-4-2-5-0-15-10-9-11...

1/37 en base 54 = 0,1-24-43-42-17-27-39-21-48-8-40-46-37-51-4-20-23-18===52-29-10-11-36-26-14-32-5-45-13-7-16-2-49-33-30-35...

1/37 en base 91 = 0,2-41-73-71-29-46-66-36-81-14-68-78-63-86-7-34-39-31===88-49-17-19-61-44-24-54-9-76-22-12-27-4-83-56-51-59...

Et de manière générale en base 17+37n :

[n][7+17n][13+30n][13+29n][5+12n][8+19n][12+27n][6+15n][15+33n][2+6n][12+28n][14+32n][11+26n][16+35n][1+3n][6+14n][7+16n][5+13n]===[16+36n][9+20n][3+7n][3+8n][11+25n][8+18n][4+10n][10+22n][1+4n][14+31n][4+9n][2+5n][5+11n][2n][15+34n][10+23n][9+21n][11+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-17-30-29-12-19-27-15-33-6-28-32-26-35-3-14-16-13===36-20-7-8-25-18-10-22-4-31-9-5-11-2-34-23-21-24

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 17 modulo 37 

Calcul de 1/37 en base 24+37n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 24+37n. La série est alors :

1-24-21-23-34-2-11-5-9-31-4-22-10-18-25-8-7-20===36-13-16-14-3-35-26-32-28-6-33-15-27-19-12-29-30-17

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 17+37n.

Calculons 1/37 en base : 24, 61, 98, ...(24+37n) :

1/37 en base 24 = 0,0-15-13-14-22-1-7-3-5-20-2-14-6-11-16-5-4-12===23-8-10-9-1-22-16-20-18-3-21-9-17-12-7-18-19-11...

1/37 en base 61 = 0,1-39-34-37-56-3-18-8-14-51-6-36-16-29-41-13-11-32===59-21-26-23-4-57-42-52-46-9-54-24-44-31-19-47-49-28...

1/37 en base 98 = 0,2-63-55-60-90-5-29-13-23-82-10-58-26-47-66-21-18-52===95-34-42-37-7-92-68-84-74-15-87-39-71-50-31-76-79-45...

Et de manière générale en base 24+37n :

[n][15+24n][13+21n][14+23n][22+34n][1+2n][7+11n][3+5n][5+9n][20+31n][2+4n][14+22n][6+10n][11+18n][16+25n][5+8n][4+7n][12+20n]===[23+36n][8+13n][10+16n][9+14n][1+3n][22+35n][16+26n][20+32n][18+28n][3+6n][21+33n][9+15n][17+27n][12+19n][7+12n][18+29n][19+30n][11+17n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-24-21-23-34-2-11-5-9-31-4-22-10-18-25-8-7-20===36-13-16-14-3-35-26-32-28-6-33-15-27-19-12-29-30-17

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 37 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 17+37n.

Constatons que 17x24 admet 1 pour reste dans la division par 37 et qu'ils sont alors inverses dans Z37