Pourquoi les périodes de n/37 en base 18+37n se regroupent elles en cette série ?

1-18-28-23-7-15-11-13-12-31-3-17-10-32-21-8-33-2===36-19-9-14-30-22-26-24-25-6-34-20-27-5-16-29-4-35

Calculons 1/37 en base 18+37n (18, 55, 92, ...) :

1/37 en base 18 = 0,0-8-13-11-3-7-5-6-5-15-1-8-4-15-10-3-16-0===17-9-4-6-14-10-12-11-12-2-16-9-13-2-7-14-1-17...

1/37 en base 55 = 0,1-26-41-34-10-22-16-19-17-46-4-25-14-47-31-11-49-2===53-28-13-20-44-32-38-35-37-8-50-29-40-7-23-43-5-52...

1/37 en base 92 = 0,2-44-69-57-17-37-27-32-29-77-7-42-24-79-52-19-82-4===89-47-22-34-74-54-64-59-62-14-84-49-67-12-39-72-9-87...

Et de manière générale en base 18+37n :

[n][8+18n][13+28n][11+23n][3+7n][7+15n][5+11n][6+13n][5+12n][15+31n][1+3n][8+17n][4+10n][15+32n][10+21n][3+8n][16+33n][2n]===[17+36n][9+19n][4+9n][6+14n][14+30n][10+22n][12+26n][11+24n][12+25n][2+6n][16+34n][9+20n][13+27n][2+5n][7+16n][14+29n][1+4n][17+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-28-23-7-15-11-13-12-31-3-17-10-32-21-8-33-2===36-19-9-14-30-22-26-24-25-6-34-20-27-5-16-29-4-35

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 37 

Calcul de 1/37 en base 35+37n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 35+37n. La série est alors :

1-35-4-29-16-5-27-20-34-6-25-24-26-22-30-14-9-19===36-2-33-8-21-32-10-17-3-31-12-13-11-15-7-23-28-18

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 18+37n.

Calculons 1/37 en base : 35, 72, 109, ...(35+37n) :

1/37 en base 35 = 0,0-33-3-27-15-4-25-18-32-5-23-22-24-20-28-13-8-17===34-1-31-7-19-30-9-16-2-29-11-12-10-14-6-21-26-17...

1/37 en base 72 = 0,1-68-7-56-31-9-52-38-66-11-48-46-50-42-58-27-17-36===70-3-64-15-40-62-19-33-5-60-23-25-21-29-13-44-54-35...

1/37 en base 109 = 0,2-103-11-85-47-14-79-58-100-17-73-70-76-64-88-41-26-55===106-5-97-23-61-94-29-50-8-91-35-38-32-44-20-67-82-53...

Et de manière générale en base 35+37n :

[n][33+35n][3+4n][27+29n][15+16n][4+5n][25+27n][18+20n][32+34n][5+6n][23+25n][22+24n][24+26n][20+22n][28+30n][13+14n][8+9n][17+19n]===[34+36n][1+2n][31+33n][7+8n][19+21n][30+32n][9+10n][16+17n][2+3n][29+31n][11+12n][12+13n][10+11n][14+15n][6+7n][21+23n][26+28n][17+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-35-4-29-16-5-27-20-34-6-25-24-26-22-30-14-9-19===36-2-33-8-21-32-10-17-3-31-12-13-11-15-7-23-28-18

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 37 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 18+37n.

Constatons que 18x35 admet 1 pour reste dans la division par 37 et qu'ils sont alors inverses dans Z37