Pourquoi les périodes de n/37 en base 22+37n se regroupent elles en cette série ?

1-22-3-29-9-13-27-2-7-6-21-18-26-17-4-14-12-5===36-15-34-8-28-24-10-35-30-31-16-19-11-20-33-23-25-32

Calculons 1/37 en base 22+37n (22, 59, 96, ...) :

1/37 en base 22 = 0,0-13-1-17-5-7-16-1-4-3-12-10-15-10-2-8-7-2===21-8-20-4-16-14-5-20-17-18-9-11-6-11-19-13-14-19...

1/37 en base 59 = 0,1-35-4-46-14-20-43-3-11-9-33-28-41-27-6-22-19-7===57-23-54-12-44-38-15-55-47-49-25-30-17-31-52-36-39-51...

1/37 en base 96 = 0,2-57-7-75-23-33-70-5-18-15-54-46-67-44-10-36-31-12===93-38-88-20-72-62-25-90-77-80-41-49-28-51-85-59-64-83...

Et de manière générale en base 22+37n :

[n][13+22n][1+3n][17+29n][5+9n][7+13n][16+27n][1+2n][4+7n][3+6n][12+21n][10+18n][15+26n][10+17n][2+4n][8+14n][7+12n][2+5n]===[21+36n][8+15n][20+34n][4+8n][16+28n][14+24n][5+10n][20+35n][17+30n][18+31n][9+16n][11+19n][6+11n][11+20n][19+33n][13+23n][14+25n][19+32n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-22-3-29-9-13-27-2-7-6-21-18-26-17-4-14-12-5===36-15-34-8-28-24-10-35-30-31-16-19-11-20-33-23-25-32

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 37 

Calcul de 1/37 en base 32+37n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 32+37n. La série est alors :

1-32-25-23-33-20-11-19-16-31-30-35-10-24-28-8-34-15===36-5-12-14-4-17-26-18-21-6-7-2-27-13-9-29-3-22

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 22+37n.

Calculons 1/37 en base : 32, 69, 106, ...(32+37n) :

1/37 en base 32 = 0,0-27-21-19-28-17-9-16-13-26-25-30-8-20-24-6-29-12===31-4-10-12-3-14-22-15-18-5-6-1-23-11-7-25-2-19...

1/37 en base 69 = 0,1-59-46-42-61-37-20-35-29-57-55-65-18-44-52-14-63-27===67-9-22-26-7-31-48-33-39-11-13-3-50-24-16-54-5-41...

1/37 en base 106 = 0,2-91-71-65-94-57-31-54-45-88-85-100-28-68-80-22-97-42===103-14-34-40-11-48-74-51-60-17-20-5-77-37-25-83-8-63...

Et de manière générale en base 32+37n :

[n][27+32n][21+25n][19+23n][28+33n][17+20n][9+11n][16+19n][13+16n][26+31n][25+30n][30+35n][8+10n][20+24n][24+28n][6+8n][29+34n][12+15n]===[31+36n][4+5n][10+12n][12+14n][3+4n][14+17n][22+26n][15+18n][18+21n][5+6n][6+7n][1+2n][23+27n][11+13n][7+9n][25+29n][2+3n][19+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-32-25-23-33-20-11-19-16-31-30-35-10-24-28-8-34-15===36-5-12-14-4-17-26-18-21-6-7-2-27-13-9-29-3-22

Qui partage le cercle en 37 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 32 modulo 37 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 22+37n.

Constatons que 22x32 admet 1 pour reste dans la division par 37 et qu'ils sont alors inverses dans Z37