Pourquoi les périodes de n/41 en base 6+41n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-11-25-27-39-29-10-19-32-28-4-24-21-3-18-26-33-34===40-35-5-30-16-14-2-12-31-22-9-13-37-17-20-38-23-15-8-7

Calculons 1/41 en base 6+41n (6, 47, 88, ...) :

1/41 en base 6 = 0,00513354124403302344===55042201431152253211...

1/41 en base 47 = 0,1-6-41-12-28-30-44-33-11-21-36-32-4-27-24-3-20-29-37-38===45-40-5-34-18-16-2-13-35-25-10-14-42-19-22-43-26-17-9-8...

1/41 en base 88 = 0,2-12-77-23-53-57-83-62-21-40-68-60-8-51-45-6-38-55-70-72===85-75-10-64-34-30-4-25-66-47-19-27-79-36-42-81-49-32-17-15...

Et de manière générale en base 6+41n :

[n][6n][5+36n][1+11n][3+25n][3+27n][5+39n][4+29n][1+10n][2+19n][4+32n][4+28n][4n][3+24n][3+21n][3n][2+18n][3+26n][4+33n][4+34n]===[5+40n][5+35n][5n][4+30n][2+16n][2+14n][2n][1+12n][4+31n][3+22n][1+9n][1+13n][5+37n][2+17n][2+20n][5+38n][3+23n][2+15n][1+8n][1+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-6-36-11-25-27-39-29-10-19-32-28-4-24-21-3-18-26-33-34===40-35-5-30-16-14-2-12-31-22-9-13-37-17-20-38-23-15-8-7

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 7+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 7+41n. La série est alors :

1-7-8-15-23-38-20-17-37-13-9-22-31-12-2-14-16-30-5-35===40-34-33-26-18-3-21-24-4-28-32-19-10-29-39-27-25-11-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+41n.

Calculons 1/41 en base : 7, 48, 89, ...(7+41n) :

1/41 en base 7 = 0,01123632621352022505===65543034045314644161...

1/41 en base 48 = 0,1-8-9-17-26-44-23-19-43-15-10-25-36-14-2-16-18-35-5-40===46-39-38-30-21-3-24-28-4-32-37-22-11-33-45-31-29-12-42-7...

1/41 en base 89 = 0,2-15-17-32-49-82-43-36-80-28-19-47-67-26-4-30-34-65-10-75===86-73-71-56-39-6-45-52-8-60-69-41-21-62-84-58-54-23-78-13...

Et de manière générale en base 7+41n :

[n][1+7n][1+8n][2+15n][3+23n][6+38n][3+20n][2+17n][6+37n][2+13n][1+9n][3+22n][5+31n][2+12n][2n][2+14n][2+16n][5+30n][5n][5+35n]===[6+40n][5+34n][5+33n][4+26n][3+18n][3n][3+21n][4+24n][4n][4+28n][5+32n][3+19n][1+10n][4+29n][6+39n][4+27n][4+25n][1+11n][6+36n][1+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-7-8-15-23-38-20-17-37-13-9-22-31-12-2-14-16-30-5-35===40-34-33-26-18-3-21-24-4-28-32-19-10-29-39-27-25-11-36-6

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+41n.

Constatons que 6x7 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41