Pourquoi les périodes de n/41 en base 11+41n se regroupent elles en cette série ?

1-11-39-19-4-3-33-35-16-12-9-17-23-7-36-27-10-28-21-26===40-30-2-22-37-38-8-6-25-29-32-24-18-34-5-14-31-13-20-15

Calculons 1/41 en base 11+41n (11, 52, 93, ...) :

1/41 en base 11 = 0,0-2-10-5-1-0-8-9-4-3-2-4-6-1-9-7-2-7-5-6===10-8-0-5-9-10-2-1-6-7-8-6-4-9-1-3-8-3-5-4...

1/41 en base 52 = 0,1-13-49-24-5-3-41-44-20-15-11-21-29-8-45-34-12-35-26-32===50-38-2-27-46-48-10-7-31-36-40-30-22-43-6-17-39-16-25-19...

1/41 en base 93 = 0,2-24-88-43-9-6-74-79-36-27-20-38-52-15-81-61-22-63-47-58===90-68-4-49-83-86-18-13-56-65-72-54-40-77-11-31-70-29-45-34...

Et de manière générale en base 11+41n :

[n][2+11n][10+39n][5+19n][1+4n][3n][8+33n][9+35n][4+16n][3+12n][2+9n][4+17n][6+23n][1+7n][9+36n][7+27n][2+10n][7+28n][5+21n][6+26n]===[10+40n][8+30n][2n][5+22n][9+37n][10+38n][2+8n][1+6n][6+25n][7+29n][8+32n][6+24n][4+18n][9+34n][1+5n][3+14n][8+31n][3+13n][5+20n][4+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-39-19-4-3-33-35-16-12-9-17-23-7-36-27-10-28-21-26===40-30-2-22-37-38-8-6-25-29-32-24-18-34-5-14-31-13-20-15

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 15+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 15+41n. La série est alors :

1-15-20-13-31-14-5-34-18-24-32-29-25-6-8-38-37-22-2-30===40-26-21-28-10-27-36-7-23-17-9-12-16-35-33-3-4-19-39-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+41n.

Calculons 1/41 en base : 15, 56, 97, ...(15+41n) :

1/41 en base 15 = 0,0-5-7-4-11-5-1-12-6-8-11-10-9-2-2-13-13-8-0-10===14-9-7-10-3-9-13-2-8-6-3-4-5-12-12-1-1-6-14-4...

1/41 en base 56 = 0,1-20-27-17-42-19-6-46-24-32-43-39-34-8-10-51-50-30-2-40===54-35-28-38-13-36-49-9-31-23-12-16-21-47-45-4-5-25-53-15...

1/41 en base 97 = 0,2-35-47-30-73-33-11-80-42-56-75-68-59-14-18-89-87-52-4-70===94-61-49-66-23-63-85-16-54-40-21-28-37-82-78-7-9-44-92-26...

Et de manière générale en base 15+41n :

[n][5+15n][7+20n][4+13n][11+31n][5+14n][1+5n][12+34n][6+18n][8+24n][11+32n][10+29n][9+25n][2+6n][2+8n][13+38n][13+37n][8+22n][2n][10+30n]===[14+40n][9+26n][7+21n][10+28n][3+10n][9+27n][13+36n][2+7n][8+23n][6+17n][3+9n][4+12n][5+16n][12+35n][12+33n][1+3n][1+4n][6+19n][14+39n][4+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-20-13-31-14-5-34-18-24-32-29-25-6-8-38-37-22-2-30===40-26-21-28-10-27-36-7-23-17-9-12-16-35-33-3-4-19-39-11

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+41n.

Constatons que 11x15 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41