Pourquoi les périodes de n/41 en base 12+41n se regroupent elles en cette série ?

1-12-21-6-31-3-36-22-18-11-9-26-25-13-33-27-37-34-39-17===40-29-20-35-10-38-5-19-23-30-32-15-16-28-8-14-4-7-2-24

Calculons 1/41 en base 12+41n (12, 53, 94, ...) :

1/41 en base 12 = 0,0-3-6-1-9-0-10-6-5-3-2-7-7-3-9-7-10-9-11-4===11-8-5-10-2-11-1-5-6-8-9-4-4-8-2-4-1-2-0-7...

1/41 en base 53 = 0,1-15-27-7-40-3-46-28-23-14-11-33-32-16-42-34-47-43-50-21===51-37-25-45-12-49-6-24-29-38-41-19-20-36-10-18-5-9-2-31...

1/41 en base 94 = 0,2-27-48-13-71-6-82-50-41-25-20-59-57-29-75-61-84-77-89-38===91-66-45-80-22-87-11-43-52-68-73-34-36-64-18-32-9-16-4-55...

Et de manière générale en base 12+41n :

[n][3+12n][6+21n][1+6n][9+31n][3n][10+36n][6+22n][5+18n][3+11n][2+9n][7+26n][7+25n][3+13n][9+33n][7+27n][10+37n][9+34n][11+39n][4+17n]===[11+40n][8+29n][5+20n][10+35n][2+10n][11+38n][1+5n][5+19n][6+23n][8+30n][9+32n][4+15n][4+16n][8+28n][2+8n][4+14n][1+4n][2+7n][2n][7+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-21-6-31-3-36-22-18-11-9-26-25-13-33-27-37-34-39-17===40-29-20-35-10-38-5-19-23-30-32-15-16-28-8-14-4-7-2-24

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 24+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 24+41n. La série est alors :

1-24-2-7-4-14-8-28-16-15-32-30-23-19-5-38-10-35-20-29===40-17-39-34-37-27-33-13-25-26-9-11-18-22-36-3-31-6-21-12

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 12+41n.

Calculons 1/41 en base : 24, 65, 106, ...(24+41n) :

1/41 en base 24 = 0,0-14-1-4-2-8-4-16-9-8-18-17-13-11-2-22-5-20-11-16===23-9-22-19-21-15-19-7-14-15-5-6-10-12-21-1-18-3-12-7...

1/41 en base 65 = 0,1-38-3-11-6-22-12-44-25-23-50-47-36-30-7-60-15-55-31-45===63-26-61-53-58-42-52-20-39-41-14-17-28-34-57-4-49-9-33-19...

1/41 en base 106 = 0,2-62-5-18-10-36-20-72-41-38-82-77-59-49-12-98-25-90-51-74===103-43-100-87-95-69-85-33-64-67-23-28-46-56-93-7-80-15-54-31...

Et de manière générale en base 24+41n :

[n][14+24n][1+2n][4+7n][2+4n][8+14n][4+8n][16+28n][9+16n][8+15n][18+32n][17+30n][13+23n][11+19n][2+5n][22+38n][5+10n][20+35n][11+20n][16+29n]===[23+40n][9+17n][22+39n][19+34n][21+37n][15+27n][19+33n][7+13n][14+25n][15+26n][5+9n][6+11n][10+18n][12+22n][21+36n][1+3n][18+31n][3+6n][12+21n][7+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-24-2-7-4-14-8-28-16-15-32-30-23-19-5-38-10-35-20-29===40-17-39-34-37-27-33-13-25-26-9-11-18-22-36-3-31-6-21-12

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 12+41n.

Constatons que 12x24 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41