Pourquoi les périodes de n/41 en base 13+41n se regroupent elles en cette série ?

1-13-5-24-25-38-2-26-10-7-9-35-4-11-20-14-18-29-8-22===40-28-36-17-16-3-39-15-31-34-32-6-37-30-21-27-23-12-33-19

Calculons 1/41 en base 13+41n (13, 54, 95, ...) :

1/41 en base 13 = 0,0-4-1-7-7-12-0-8-3-2-2-11-1-3-6-4-5-9-2-6===12-8-11-5-5-0-12-4-9-10-10-1-11-9-6-8-7-3-10-6...

1/41 en base 54 = 0,1-17-6-31-32-50-2-34-13-9-11-46-5-14-26-18-23-38-10-28===52-36-47-22-21-3-51-19-40-44-42-7-48-39-27-35-30-15-43-25...

1/41 en base 95 = 0,2-30-11-55-57-88-4-60-23-16-20-81-9-25-46-32-41-67-18-50===92-64-83-39-37-6-90-34-71-78-74-13-85-69-48-62-53-27-76-44...

Et de manière générale en base 13+41n :

[n][4+13n][1+5n][7+24n][7+25n][12+38n][2n][8+26n][3+10n][2+7n][2+9n][11+35n][1+4n][3+11n][6+20n][4+14n][5+18n][9+29n][2+8n][6+22n]===[12+40n][8+28n][11+36n][5+17n][5+16n][3n][12+39n][4+15n][9+31n][10+34n][10+32n][1+6n][11+37n][9+30n][6+21n][8+27n][7+23n][3+12n][10+33n][6+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-5-24-25-38-2-26-10-7-9-35-4-11-20-14-18-29-8-22===40-28-36-17-16-3-39-15-31-34-32-6-37-30-21-27-23-12-33-19

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 19+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 19+41n. La série est alors :

1-19-33-12-23-27-21-30-37-6-32-34-31-15-39-3-16-17-36-28===40-22-8-29-18-14-20-11-4-35-9-7-10-26-2-38-25-24-5-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+41n.

Calculons 1/41 en base : 19, 60, 101, ...(19+41n) :

1/41 en base 19 = 0,0-8-15-5-10-12-9-13-17-2-14-15-14-6-18-1-7-7-16-12===18-10-3-13-8-6-9-5-1-16-4-3-4-12-0-17-11-11-2-6...

1/41 en base 60 = 0,1-27-48-17-33-39-30-43-54-8-46-49-45-21-57-4-23-24-52-40===58-32-11-42-26-20-29-16-5-51-13-10-14-38-2-55-36-35-7-19...

1/41 en base 101 = 0,2-46-81-29-56-66-51-73-91-14-78-83-76-36-96-7-39-41-88-68===98-54-19-71-44-34-49-27-9-86-22-17-24-64-4-93-61-59-12-32...

Et de manière générale en base 19+41n :

[n][8+19n][15+33n][5+12n][10+23n][12+27n][9+21n][13+30n][17+37n][2+6n][14+32n][15+34n][14+31n][6+15n][18+39n][1+3n][7+16n][7+17n][16+36n][12+28n]===[18+40n][10+22n][3+8n][13+29n][8+18n][6+14n][9+20n][5+11n][1+4n][16+35n][4+9n][3+7n][4+10n][12+26n][2n][17+38n][11+25n][11+24n][2+5n][6+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-19-33-12-23-27-21-30-37-6-32-34-31-15-39-3-16-17-36-28===40-22-8-29-18-14-20-11-4-35-9-7-10-26-2-38-25-24-5-13

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+41n.

Constatons que 13x19 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41