Pourquoi les périodes de n/41 en base 17+41n se regroupent elles en cette série ?

1-17-2-34-4-27-8-13-16-26-32-11-23-22-5-3-10-6-20-12===40-24-39-7-37-14-33-28-25-15-9-30-18-19-36-38-31-35-21-29

Calculons 1/41 en base 17+41n (17, 58, 99, ...) :

1/41 en base 17 = 0,0-7-0-14-1-11-3-5-6-10-13-4-9-9-2-1-4-2-8-4===16-9-16-2-15-5-13-11-10-6-3-12-7-7-14-15-12-14-8-12...

1/41 en base 58 = 0,1-24-2-48-5-38-11-18-22-36-45-15-32-31-7-4-14-8-28-16===56-33-55-9-52-19-46-39-35-21-12-42-25-26-50-53-43-49-29-41...

1/41 en base 99 = 0,2-41-4-82-9-65-19-31-38-62-77-26-55-53-12-7-24-14-48-28===96-57-94-16-89-33-79-67-60-36-21-72-43-45-86-91-74-84-50-70...

Et de manière générale en base 17+41n :

[n][7+17n][2n][14+34n][1+4n][11+27n][3+8n][5+13n][6+16n][10+26n][13+32n][4+11n][9+23n][9+22n][2+5n][1+3n][4+10n][2+6n][8+20n][4+12n]===[16+40n][9+24n][16+39n][2+7n][15+37n][5+14n][13+33n][11+28n][10+25n][6+15n][3+9n][12+30n][7+18n][7+19n][14+36n][15+38n][12+31n][14+35n][8+21n][12+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-17-2-34-4-27-8-13-16-26-32-11-23-22-5-3-10-6-20-12===40-24-39-7-37-14-33-28-25-15-9-30-18-19-36-38-31-35-21-29

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 17 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 29+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 29+41n. La série est alors :

1-29-21-35-31-38-36-19-18-30-9-15-25-28-33-14-37-7-39-24===40-12-20-6-10-3-5-22-23-11-32-26-16-13-8-27-4-34-2-17

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 17+41n.

Calculons 1/41 en base : 29, 70, 111, ...(29+41n) :

1/41 en base 29 = 0,0-20-14-24-21-26-25-13-12-21-6-10-17-19-23-9-26-4-27-16===28-8-14-4-7-2-3-15-16-7-22-18-11-9-5-19-2-24-1-12...

1/41 en base 70 = 0,1-49-35-59-52-64-61-32-30-51-15-25-42-47-56-23-63-11-66-40===68-20-34-10-17-5-8-37-39-18-54-44-27-22-13-46-6-58-3-29...

1/41 en base 111 = 0,2-78-56-94-83-102-97-51-48-81-24-40-67-75-89-37-100-18-105-64===108-32-54-16-27-8-13-59-62-29-86-70-43-35-21-73-10-92-5-46...

Et de manière générale en base 29+41n :

[n][20+29n][14+21n][24+35n][21+31n][26+38n][25+36n][13+19n][12+18n][21+30n][6+9n][10+15n][17+25n][19+28n][23+33n][9+14n][26+37n][4+7n][27+39n][16+24n]===[28+40n][8+12n][14+20n][4+6n][7+10n][2+3n][3+5n][15+22n][16+23n][7+11n][22+32n][18+26n][11+16n][9+13n][5+8n][19+27n][2+4n][24+34n][1+2n][12+17n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-29-21-35-31-38-36-19-18-30-9-15-25-28-33-14-37-7-39-24===40-12-20-6-10-3-5-22-23-11-32-26-16-13-8-27-4-34-2-17

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 17+41n.

Constatons que 17x29 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41