Pourquoi les périodes de n/41 en base 22+41n se regroupent elles en cette série ?

1-22-33-29-23-14-21-11-37-35-32-7-31-26-39-38-16-24-36-13===40-19-8-12-18-27-20-30-4-6-9-34-10-15-2-3-25-17-5-28

Calculons 1/41 en base 22+41n (22, 63, 104, ...) :

1/41 en base 22 = 0,0-11-17-15-12-7-11-5-19-18-17-3-16-13-20-20-8-12-19-6===21-10-4-6-9-14-10-16-2-3-4-18-5-8-1-1-13-9-2-15...

1/41 en base 63 = 0,1-33-50-44-35-21-32-16-56-53-49-10-47-39-59-58-24-36-55-19===61-29-12-18-27-41-30-46-6-9-13-52-15-23-3-4-38-26-7-43...

1/41 en base 104 = 0,2-55-83-73-58-35-53-27-93-88-81-17-78-65-98-96-40-60-91-32===101-48-20-30-45-68-50-76-10-15-22-86-25-38-5-7-63-43-12-71...

Et de manière générale en base 22+41n :

[n][11+22n][17+33n][15+29n][12+23n][7+14n][11+21n][5+11n][19+37n][18+35n][17+32n][3+7n][16+31n][13+26n][20+39n][20+38n][8+16n][12+24n][19+36n][6+13n]===[21+40n][10+19n][4+8n][6+12n][9+18n][14+27n][10+20n][16+30n][2+4n][3+6n][4+9n][18+34n][5+10n][8+15n][1+2n][1+3n][13+25n][9+17n][2+5n][15+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-22-33-29-23-14-21-11-37-35-32-7-31-26-39-38-16-24-36-13===40-19-8-12-18-27-20-30-4-6-9-34-10-15-2-3-25-17-5-28

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 28+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 28+41n. La série est alors :

1-28-5-17-25-3-2-15-10-34-9-6-4-30-20-27-18-12-8-19===40-13-36-24-16-38-39-26-31-7-32-35-37-11-21-14-23-29-33-22

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 22+41n.

Calculons 1/41 en base : 28, 69, 110, ...(28+41n) :

1/41 en base 28 = 0,0-19-3-11-17-2-1-10-6-23-6-4-2-20-13-18-12-8-5-12===27-8-24-16-10-25-26-17-21-4-21-23-25-7-14-9-15-19-22-15...

1/41 en base 69 = 0,1-47-8-28-42-5-3-25-16-57-15-10-6-50-33-45-30-20-13-31===67-21-60-40-26-63-65-43-52-11-53-58-62-18-35-23-38-48-55-37...

1/41 en base 110 = 0,2-75-13-45-67-8-5-40-26-91-24-16-10-80-53-72-48-32-21-50===107-34-96-64-42-101-104-69-83-18-85-93-99-29-56-37-61-77-88-59...

Et de manière générale en base 28+41n :

[n][19+28n][3+5n][11+17n][17+25n][2+3n][1+2n][10+15n][6+10n][23+34n][6+9n][4+6n][2+4n][20+30n][13+20n][18+27n][12+18n][8+12n][5+8n][12+19n]===[27+40n][8+13n][24+36n][16+24n][10+16n][25+38n][26+39n][17+26n][21+31n][4+7n][21+32n][23+35n][25+37n][7+11n][14+21n][9+14n][15+23n][19+29n][22+33n][15+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-28-5-17-25-3-2-15-10-34-9-6-4-30-20-27-18-12-8-19===40-13-36-24-16-38-39-26-31-7-32-35-37-11-21-14-23-29-33-22

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 22+41n.

Constatons que 22x28 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41