Pourquoi les périodes de n/41 en base 26+41n se regroupent elles en cette série ?

1-26-20-28-31-27-5-7-18-17-32-12-25-35-8-3-37-19-2-11===40-15-21-13-10-14-36-34-23-24-9-29-16-6-33-38-4-22-39-30

Calculons 1/41 en base 26+41n (26, 67, 108, ...) :

1/41 en base 26 = 0,0-16-12-17-19-17-3-4-11-10-20-7-15-22-5-1-23-12-1-6===25-9-13-8-6-8-22-21-14-15-5-18-10-3-20-24-2-13-24-19...

1/41 en base 67 = 0,1-42-32-45-50-44-8-11-29-27-52-19-40-57-13-4-60-31-3-17===65-24-34-21-16-22-58-55-37-39-14-47-26-9-53-62-6-35-63-49...

1/41 en base 108 = 0,2-68-52-73-81-71-13-18-47-44-84-31-65-92-21-7-97-50-5-28===105-39-55-34-26-36-94-89-60-63-23-76-42-15-86-100-10-57-102-79...

Et de manière générale en base 26+41n :

[n][16+26n][12+20n][17+28n][19+31n][17+27n][3+5n][4+7n][11+18n][10+17n][20+32n][7+12n][15+25n][22+35n][5+8n][1+3n][23+37n][12+19n][1+2n][6+11n]===[25+40n][9+15n][13+21n][8+13n][6+10n][8+14n][22+36n][21+34n][14+23n][15+24n][5+9n][18+29n][10+16n][3+6n][20+33n][24+38n][2+4n][13+22n][24+39n][19+30n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-26-20-28-31-27-5-7-18-17-32-12-25-35-8-3-37-19-2-11===40-15-21-13-10-14-36-34-23-24-9-29-16-6-33-38-4-22-39-30

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 30+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 30+41n. La série est alors :

1-30-39-22-4-38-33-6-16-29-9-24-23-34-36-14-10-13-21-15===40-11-2-19-37-3-8-35-25-12-32-17-18-7-5-27-31-28-20-26

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+41n.

Calculons 1/41 en base : 30, 71, 112, ...(30+41n) :

1/41 en base 30 = 0,0-21-28-16-2-27-24-4-11-21-6-17-16-24-26-10-7-9-15-10===29-8-1-13-27-2-5-25-18-8-23-12-13-5-3-19-22-20-14-19...

1/41 en base 71 = 0,1-51-67-38-6-65-57-10-27-50-15-41-39-58-62-24-17-22-36-25===69-19-3-32-64-5-13-60-43-20-55-29-31-12-8-46-53-48-34-45...

1/41 en base 112 = 0,2-81-106-60-10-103-90-16-43-79-24-65-62-92-98-38-27-35-57-40===109-30-5-51-101-8-21-95-68-32-87-46-49-19-13-73-84-76-54-71...

Et de manière générale en base 30+41n :

[n][21+30n][28+39n][16+22n][2+4n][27+38n][24+33n][4+6n][11+16n][21+29n][6+9n][17+24n][16+23n][24+34n][26+36n][10+14n][7+10n][9+13n][15+21n][10+15n]===[29+40n][8+11n][1+2n][13+19n][27+37n][2+3n][5+8n][25+35n][18+25n][8+12n][23+32n][12+17n][13+18n][5+7n][3+5n][19+27n][22+31n][20+28n][14+20n][19+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-30-39-22-4-38-33-6-16-29-9-24-23-34-36-14-10-13-21-15===40-11-2-19-37-3-8-35-25-12-32-17-18-7-5-27-31-28-20-26

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 30 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+41n.

Constatons que 26x30 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41