Pourquoi les périodes de n/41 en base 34+41n se regroupent elles en cette série ?

1-34-8-26-23-3-20-24-37-28-9-19-31-29-2-27-16-11-5-6===40-7-33-15-18-38-21-17-4-13-32-22-10-12-39-14-25-30-36-35

Calculons 1/41 en base 34+41n (34, 75, 116, ...) :

1/41 en base 34 = 0,0-28-6-21-19-2-16-19-30-23-7-15-25-24-1-22-13-9-4-4===33-5-27-12-14-31-17-14-3-10-26-18-8-9-32-11-20-24-29-29...

1/41 en base 75 = 0,1-62-14-47-42-5-36-43-67-51-16-34-56-53-3-49-29-20-9-10===73-12-60-27-32-69-38-31-7-23-58-40-18-21-71-25-45-54-65-64...

1/41 en base 116 = 0,2-96-22-73-65-8-56-67-104-79-25-53-87-82-5-76-45-31-14-16===113-19-93-42-50-107-59-48-11-36-90-62-28-33-110-39-70-84-101-99...

Et de manière générale en base 34+41n :

[n][28+34n][6+8n][21+26n][19+23n][2+3n][16+20n][19+24n][30+37n][23+28n][7+9n][15+19n][25+31n][24+29n][1+2n][22+27n][13+16n][9+11n][4+5n][4+6n]===[33+40n][5+7n][27+33n][12+15n][14+18n][31+38n][17+21n][14+17n][3+4n][10+13n][26+32n][18+22n][8+10n][9+12n][32+39n][11+14n][20+25n][24+30n][29+36n][29+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-34-8-26-23-3-20-24-37-28-9-19-31-29-2-27-16-11-5-6===40-7-33-15-18-38-21-17-4-13-32-22-10-12-39-14-25-30-36-35

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 41 

Calcul de 1/41 en base 35+41n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 35+41n. La série est alors :

1-35-36-30-25-14-39-12-10-22-32-13-4-17-21-38-18-15-33-7===40-6-5-11-16-27-2-29-31-19-9-28-37-24-20-3-23-26-8-34

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 34+41n.

Calculons 1/41 en base : 35, 76, 117, ...(35+41n) :

1/41 en base 35 = 0,0-29-30-25-21-11-33-10-8-18-27-11-3-14-17-32-15-12-28-5===34-5-4-9-13-23-1-24-26-16-7-23-31-20-17-2-19-22-6-29...

1/41 en base 76 = 0,1-64-66-55-46-25-72-22-18-40-59-24-7-31-38-70-33-27-61-12===74-11-9-20-29-50-3-53-57-35-16-51-68-44-37-5-42-48-14-63...

1/41 en base 117 = 0,2-99-102-85-71-39-111-34-28-62-91-37-11-48-59-108-51-42-94-19===114-17-14-31-45-77-5-82-88-54-25-79-105-68-57-8-65-74-22-97...

Et de manière générale en base 35+41n :

[n][29+35n][30+36n][25+30n][21+25n][11+14n][33+39n][10+12n][8+10n][18+22n][27+32n][11+13n][3+4n][14+17n][17+21n][32+38n][15+18n][12+15n][28+33n][5+7n]===[34+40n][5+6n][4+5n][9+11n][13+16n][23+27n][1+2n][24+29n][26+31n][16+19n][7+9n][23+28n][31+37n][20+24n][17+20n][2+3n][19+23n][22+26n][6+8n][29+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-35-36-30-25-14-39-12-10-22-32-13-4-17-21-38-18-15-33-7===40-6-5-11-16-27-2-29-31-19-9-28-37-24-20-3-23-26-8-34

Qui partage le cercle en 41 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 41 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 34+41n.

Constatons que 34x35 admet 1 pour reste dans la division par 41 et qu'ils sont alors inverses dans Z41