Pourquoi les périodes de n/43 en base 3+43n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-27-38-28-41-37-25-32-10-30-4-12-36-22-23-26-35-19-14===42-40-34-16-5-15-2-6-18-11-33-13-39-31-7-21-20-17-8-24-29

Calculons 1/43 en base 3+43n (3, 46, 89, ...) :

1/43 en base 3 = 0,000121221202002111210===222101001020220111012...

1/43 en base 46 = 0,1-3-9-28-40-29-43-39-26-34-10-32-4-12-38-23-24-27-37-20-14===44-42-36-17-5-16-2-6-19-11-35-13-41-33-7-22-21-18-8-25-31...

1/43 en base 89 = 0,2-6-18-55-78-57-84-76-51-66-20-62-8-24-74-45-47-53-72-39-28===86-82-70-33-10-31-4-12-37-22-68-26-80-64-14-43-41-35-16-49-60...

Et de manière générale en base 3+43n :

[n][3n][9n][1+27n][2+38n][1+28n][2+41n][2+37n][1+25n][2+32n][10n][2+30n][4n][12n][2+36n][1+22n][1+23n][1+26n][2+35n][1+19n][14n]===[2+42n][2+40n][2+34n][1+16n][5n][1+15n][2n][6n][1+18n][11n][2+33n][13n][2+39n][2+31n][7n][1+21n][1+20n][1+17n][8n][1+24n][2+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3-9-27-38-28-41-37-25-32-10-30-4-12-36-22-23-26-35-19-14===42-40-34-16-5-15-2-6-18-11-33-13-39-31-7-21-20-17-8-24-29

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 43 

Calcul de 1/43 en base 29+43n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 29+43n. La série est alors :

1-29-24-8-17-20-21-7-31-39-13-33-11-18-6-2-15-5-16-34-40===42-14-19-35-26-23-22-36-12-4-30-10-32-25-37-41-28-38-27-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+43n.

Calculons 1/43 en base : 29, 72, 115, ...(29+43n) :

1/43 en base 29 = 0,0-19-16-5-11-13-14-4-20-26-8-22-7-12-4-1-10-3-10-22-26===28-9-12-23-17-15-14-24-8-2-20-6-21-16-24-27-18-25-18-6-2...

1/43 en base 72 = 0,1-48-40-13-28-33-35-11-51-65-21-55-18-30-10-3-25-8-26-56-66===70-23-31-58-43-38-36-60-20-6-50-16-53-41-61-68-46-63-45-15-5...

1/43 en base 115 = 0,2-77-64-21-45-53-56-18-82-104-34-88-29-48-16-5-40-13-42-90-106===112-37-50-93-69-61-58-96-32-10-80-26-85-66-98-109-74-101-72-24-8...

Et de manière générale en base 29+43n :

[n][19+29n][16+24n][5+8n][11+17n][13+20n][14+21n][4+7n][20+31n][26+39n][8+13n][22+33n][7+11n][12+18n][4+6n][1+2n][10+15n][3+5n][10+16n][22+34n][26+40n]===[28+42n][9+14n][12+19n][23+35n][17+26n][15+23n][14+22n][24+36n][8+12n][2+4n][20+30n][6+10n][21+32n][16+25n][24+37n][27+41n][18+28n][25+38n][18+27n][6+9n][2+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-29-24-8-17-20-21-7-31-39-13-33-11-18-6-2-15-5-16-34-40===42-14-19-35-26-23-22-36-12-4-30-10-32-25-37-41-28-38-27-9-3

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 43 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+43n.

Constatons que 3x29 admet 1 pour reste dans la division par 43 et qu'ils sont alors inverses dans Z43