Pourquoi les périodes de n/43 en base 5+43n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-39-23-29-16-37-13-22-24-34-41-33-36-8-40-28-11-12-17===42-38-18-4-20-14-27-6-30-21-19-9-2-10-7-35-3-15-32-31-26

Calculons 1/43 en base 5+43n (5, 48, 91, ...) :

1/43 en base 5 = 0,002423141223434043111===442021303221010401333...

1/43 en base 48 = 0,1-5-27-43-25-32-17-41-14-24-26-37-45-36-40-8-44-31-12-13-18===46-42-20-4-22-15-30-6-33-23-21-10-2-11-7-39-3-16-35-34-29...

1/43 en base 91 = 0,2-10-52-82-48-61-33-78-27-46-50-71-86-69-76-16-84-59-23-25-35===88-80-38-8-42-29-57-12-63-44-40-19-4-21-14-74-6-31-67-65-55...

Et de manière générale en base 5+43n :

[n][5n][2+25n][4+39n][2+23n][3+29n][1+16n][4+37n][1+13n][2+22n][2+24n][3+34n][4+41n][3+33n][4+36n][8n][4+40n][3+28n][1+11n][1+12n][1+17n]===[4+42n][4+38n][2+18n][4n][2+20n][1+14n][3+27n][6n][3+30n][2+21n][2+19n][1+9n][2n][1+10n][7n][4+35n][3n][1+15n][3+32n][3+31n][3+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-25-39-23-29-16-37-13-22-24-34-41-33-36-8-40-28-11-12-17===42-38-18-4-20-14-27-6-30-21-19-9-2-10-7-35-3-15-32-31-26

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 43 

Calcul de 1/43 en base 26+43n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 26+43n. La série est alors :

1-26-31-32-15-3-35-7-10-2-9-19-21-30-6-27-14-20-4-18-38===42-17-12-11-28-40-8-36-33-41-34-24-22-13-37-16-29-23-39-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+43n.

Calculons 1/43 en base : 26, 69, 112, ...(26+43n) :

1/43 en base 26 = 0,0-15-18-19-9-1-21-4-6-1-5-11-12-18-3-16-8-12-2-10-22===25-10-7-6-16-24-4-21-19-24-20-14-13-7-22-9-17-13-23-15-3...

1/43 en base 69 = 0,1-41-49-51-24-4-56-11-16-3-14-30-33-48-9-43-22-32-6-28-60===67-27-19-17-44-64-12-57-52-65-54-38-35-20-59-25-46-36-62-40-8...

1/43 en base 112 = 0,2-67-80-83-39-7-91-18-26-5-23-49-54-78-15-70-36-52-10-46-98===109-44-31-28-72-104-20-93-85-106-88-62-57-33-96-41-75-59-101-65-13...

Et de manière générale en base 26+43n :

[n][15+26n][18+31n][19+32n][9+15n][1+3n][21+35n][4+7n][6+10n][1+2n][5+9n][11+19n][12+21n][18+30n][3+6n][16+27n][8+14n][12+20n][2+4n][10+18n][22+38n]===[25+42n][10+17n][7+12n][6+11n][16+28n][24+40n][4+8n][21+36n][19+33n][24+41n][20+34n][14+24n][13+22n][7+13n][22+37n][9+16n][17+29n][13+23n][23+39n][15+25n][3+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-26-31-32-15-3-35-7-10-2-9-19-21-30-6-27-14-20-4-18-38===42-17-12-11-28-40-8-36-33-41-34-24-22-13-37-16-29-23-39-25-5

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 43 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+43n.

Constatons que 5x26 admet 1 pour reste dans la division par 43 et qu'ils sont alors inverses dans Z43