Pourquoi les périodes de n/43 en base 12+43n se regroupent elles en cette série ?

1-12-15-8-10-34-21-37-14-39-38-26-11-3-36-2-24-30-16-20-25===42-31-28-35-33-9-22-6-29-4-5-17-32-40-7-41-19-13-27-23-18

Calculons 1/43 en base 12+43n (12, 55, 98, ...) :

1/43 en base 12 = 0,0-3-4-2-2-9-5-10-3-10-10-7-3-0-10-0-6-8-4-5-6===11-8-7-9-9-2-6-1-8-1-1-4-8-11-1-11-5-3-7-6-5...

1/43 en base 55 = 0,1-15-19-10-12-43-26-47-17-49-48-33-14-3-46-2-30-38-20-25-31===53-39-35-44-42-11-28-7-37-5-6-21-40-51-8-52-24-16-34-29-23...

1/43 en base 98 = 0,2-27-34-18-22-77-47-84-31-88-86-59-25-6-82-4-54-68-36-45-56===95-70-63-79-75-20-50-13-66-9-11-38-72-91-15-93-43-29-61-52-41...

Et de manière générale en base 12+43n :

[n][3+12n][4+15n][2+8n][2+10n][9+34n][5+21n][10+37n][3+14n][10+39n][10+38n][7+26n][3+11n][3n][10+36n][2n][6+24n][8+30n][4+16n][5+20n][6+25n]===[11+42n][8+31n][7+28n][9+35n][9+33n][2+9n][6+22n][1+6n][8+29n][1+4n][1+5n][4+17n][8+32n][11+40n][1+7n][11+41n][5+19n][3+13n][7+27n][6+23n][5+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-15-8-10-34-21-37-14-39-38-26-11-3-36-2-24-30-16-20-25===42-31-28-35-33-9-22-6-29-4-5-17-32-40-7-41-19-13-27-23-18

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 43 

Calcul de 1/43 en base 18+43n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 18+43n. La série est alors :

1-18-23-27-13-19-41-7-40-32-17-5-4-29-6-22-9-33-35-28-31===42-25-20-16-30-24-2-36-3-11-26-38-39-14-37-21-34-10-8-15-12

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 12+43n.

Calculons 1/43 en base : 18, 61, 104, ...(18+43n) :

1/43 en base 18 = 0,0-7-9-11-5-7-17-2-16-13-7-2-1-12-2-9-3-13-14-11-12===17-10-8-6-12-10-0-15-1-4-10-15-16-5-15-8-14-4-3-6-5...

1/43 en base 61 = 0,1-25-32-38-18-26-58-9-56-45-24-7-5-41-8-31-12-46-49-39-43===59-35-28-22-42-34-2-51-4-15-36-53-55-19-52-29-48-14-11-21-17...

1/43 en base 104 = 0,2-43-55-65-31-45-99-16-96-77-41-12-9-70-14-53-21-79-84-67-74===101-60-48-38-72-58-4-87-7-26-62-91-94-33-89-50-82-24-19-36-29...

Et de manière générale en base 18+43n :

[n][7+18n][9+23n][11+27n][5+13n][7+19n][17+41n][2+7n][16+40n][13+32n][7+17n][2+5n][1+4n][12+29n][2+6n][9+22n][3+9n][13+33n][14+35n][11+28n][12+31n]===[17+42n][10+25n][8+20n][6+16n][12+30n][10+24n][2n][15+36n][1+3n][4+11n][10+26n][15+38n][16+39n][5+14n][15+37n][8+21n][14+34n][4+10n][3+8n][6+15n][5+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-23-27-13-19-41-7-40-32-17-5-4-29-6-22-9-33-35-28-31===42-25-20-16-30-24-2-36-3-11-26-38-39-14-37-21-34-10-8-15-12

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 43 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 12+43n.

Constatons que 12x18 admet 1 pour reste dans la division par 43 et qu'ils sont alors inverses dans Z43