Pourquoi les périodes de n/43 en base 19+43n se regroupent elles en cette série ?

1-19-17-22-31-30-11-37-15-27-40-29-35-20-36-39-10-18-41-5-9===42-24-26-21-12-13-32-6-28-16-3-14-8-23-7-4-33-25-2-38-34

Calculons 1/43 en base 19+43n (19, 62, 105, ...) :

1/43 en base 19 = 0,0-8-7-9-13-13-4-16-6-11-17-12-15-8-15-17-4-7-18-2-3===18-10-11-9-5-5-14-2-12-7-1-6-3-10-3-1-14-11-0-16-15...

1/43 en base 62 = 0,1-27-24-31-44-43-15-53-21-38-57-41-50-28-51-56-14-25-59-7-12===60-34-37-30-17-18-46-8-40-23-4-20-11-33-10-5-47-36-2-54-49...

1/43 en base 105 = 0,2-46-41-53-75-73-26-90-36-65-97-70-85-48-87-95-24-43-100-12-21===102-58-63-51-29-31-78-14-68-39-7-34-19-56-17-9-80-61-4-92-83...

Et de manière générale en base 19+43n :

[n][8+19n][7+17n][9+22n][13+31n][13+30n][4+11n][16+37n][6+15n][11+27n][17+40n][12+29n][15+35n][8+20n][15+36n][17+39n][4+10n][7+18n][18+41n][2+5n][3+9n]===[18+42n][10+24n][11+26n][9+21n][5+12n][5+13n][14+32n][2+6n][12+28n][7+16n][1+3n][6+14n][3+8n][10+23n][3+7n][1+4n][14+33n][11+25n][2n][16+38n][15+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-19-17-22-31-30-11-37-15-27-40-29-35-20-36-39-10-18-41-5-9===42-24-26-21-12-13-32-6-28-16-3-14-8-23-7-4-33-25-2-38-34

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 43 

Calcul de 1/43 en base 34+43n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 34+43n. La série est alors :

1-34-38-2-25-33-4-7-23-8-14-3-16-28-6-32-13-12-21-26-24===42-9-5-41-18-10-39-36-20-35-29-40-27-15-37-11-30-31-22-17-19

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 19+43n.

Calculons 1/43 en base : 34, 77, 120, ...(34+43n) :

1/43 en base 34 = 0,0-26-30-1-19-26-3-5-18-6-11-2-12-22-4-25-10-9-16-20-18===33-7-3-32-14-7-30-28-15-27-22-31-21-11-29-8-23-24-17-13-15...

1/43 en base 77 = 0,1-60-68-3-44-59-7-12-41-14-25-5-28-50-10-57-23-21-37-46-42===75-16-8-73-32-17-69-64-35-62-51-71-48-26-66-19-53-55-39-30-34...

1/43 en base 120 = 0,2-94-106-5-69-92-11-19-64-22-39-8-44-78-16-89-36-33-58-72-66===117-25-13-114-50-27-108-100-55-97-80-111-75-41-103-30-83-86-61-47-53...

Et de manière générale en base 34+43n :

[n][26+34n][30+38n][1+2n][19+25n][26+33n][3+4n][5+7n][18+23n][6+8n][11+14n][2+3n][12+16n][22+28n][4+6n][25+32n][10+13n][9+12n][16+21n][20+26n][18+24n]===[33+42n][7+9n][3+5n][32+41n][14+18n][7+10n][30+39n][28+36n][15+20n][27+35n][22+29n][31+40n][21+27n][11+15n][29+37n][8+11n][23+30n][24+31n][17+22n][13+17n][15+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-34-38-2-25-33-4-7-23-8-14-3-16-28-6-32-13-12-21-26-24===42-9-5-41-18-10-39-36-20-35-29-40-27-15-37-11-30-31-22-17-19

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 43 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 19+43n.

Constatons que 19x34 admet 1 pour reste dans la division par 43 et qu'ils sont alors inverses dans Z43