Pourquoi les périodes de n/43 en base 20+43n se regroupent elles en cette série ?

1-20-13-2-40-26-4-37-9-8-31-18-16-19-36-32-38-29-21-33-15===42-23-30-41-3-17-39-6-34-35-12-25-27-24-7-11-5-14-22-10-28

Calculons 1/43 en base 20+43n (20, 63, 106, ...) :

1/43 en base 20 = 0,0-9-6-0-18-12-1-17-4-3-14-8-7-8-16-14-17-13-9-15-6===19-10-13-19-1-7-18-2-15-16-5-11-12-11-3-5-2-6-10-4-13...

1/43 en base 63 = 0,1-29-19-2-58-38-5-54-13-11-45-26-23-27-52-46-55-42-30-48-21===61-33-43-60-4-24-57-8-49-51-17-36-39-35-10-16-7-20-32-14-41...

1/43 en base 106 = 0,2-49-32-4-98-64-9-91-22-19-76-44-39-46-88-78-93-71-51-81-36===103-56-73-101-7-41-96-14-83-86-29-61-66-59-17-27-12-34-54-24-69...

Et de manière générale en base 20+43n :

[n][9+20n][6+13n][2n][18+40n][12+26n][1+4n][17+37n][4+9n][3+8n][14+31n][8+18n][7+16n][8+19n][16+36n][14+32n][17+38n][13+29n][9+21n][15+33n][6+15n]===[19+42n][10+23n][13+30n][19+41n][1+3n][7+17n][18+39n][2+6n][15+34n][16+35n][5+12n][11+25n][12+27n][11+24n][3+7n][5+11n][2+5n][6+14n][10+22n][4+10n][13+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-13-2-40-26-4-37-9-8-31-18-16-19-36-32-38-29-21-33-15===42-23-30-41-3-17-39-6-34-35-12-25-27-24-7-11-5-14-22-10-28

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 43 

Calcul de 1/43 en base 28+43n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 28+43n. La série est alors :

1-28-10-22-14-5-11-7-24-27-25-12-35-34-6-39-17-3-41-30-23===42-15-33-21-29-38-32-36-19-16-18-31-8-9-37-4-26-40-2-13-20

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 20+43n.

Calculons 1/43 en base : 28, 71, 114, ...(28+43n) :

1/43 en base 28 = 0,0-18-6-14-9-3-7-4-15-17-16-7-22-22-3-25-11-1-26-19-14===27-9-21-13-18-24-20-23-12-10-11-20-5-5-24-2-16-26-1-8-13...

1/43 en base 71 = 0,1-46-16-36-23-8-18-11-39-44-41-19-57-56-9-64-28-4-67-49-37===69-24-54-34-47-62-52-59-31-26-29-51-13-14-61-6-42-66-3-21-33...

1/43 en base 114 = 0,2-74-26-58-37-13-29-18-63-71-66-31-92-90-15-103-45-7-108-79-60===111-39-87-55-76-100-84-95-50-42-47-82-21-23-98-10-68-106-5-34-53...

Et de manière générale en base 28+43n :

[n][18+28n][6+10n][14+22n][9+14n][3+5n][7+11n][4+7n][15+24n][17+27n][16+25n][7+12n][22+35n][22+34n][3+6n][25+39n][11+17n][1+3n][26+41n][19+30n][14+23n]===[27+42n][9+15n][21+33n][13+21n][18+29n][24+38n][20+32n][23+36n][12+19n][10+16n][11+18n][20+31n][5+8n][5+9n][24+37n][2+4n][16+26n][26+40n][1+2n][8+13n][13+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-28-10-22-14-5-11-7-24-27-25-12-35-34-6-39-17-3-41-30-23===42-15-33-21-29-38-32-36-19-16-18-31-8-9-37-4-26-40-2-13-20

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 43 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 20+43n.

Constatons que 20x28 admet 1 pour reste dans la division par 43 et qu'ils sont alors inverses dans Z43