Pourquoi les périodes de n/43 en base 30+43n se regroupent elles en cette série ?

1-30-40-39-9-12-16-7-38-22-15-20-41-26-6-8-25-19-11-29-10===42-13-3-4-34-31-27-36-5-21-28-23-2-17-37-35-18-24-32-14-33

Calculons 1/43 en base 30+43n (30, 73, 116, ...) :

1/43 en base 30 = 0,0-20-27-27-6-8-11-4-26-15-10-13-28-18-4-5-17-13-7-20-6===29-9-2-2-23-21-18-25-3-14-19-16-1-11-25-24-12-16-22-9-23...

1/43 en base 73 = 0,1-50-67-66-15-20-27-11-64-37-25-33-69-44-10-13-42-32-18-49-16===71-22-5-6-57-52-45-61-8-35-47-39-3-28-62-59-30-40-54-23-56...

1/43 en base 116 = 0,2-80-107-105-24-32-43-18-102-59-40-53-110-70-16-21-67-51-29-78-26===113-35-8-10-91-83-72-97-13-56-75-62-5-45-99-94-48-64-86-37-89...

Et de manière générale en base 30+43n :

[n][20+30n][27+40n][27+39n][6+9n][8+12n][11+16n][4+7n][26+38n][15+22n][10+15n][13+20n][28+41n][18+26n][4+6n][5+8n][17+25n][13+19n][7+11n][20+29n][6+10n]===[29+42n][9+13n][2+3n][2+4n][23+34n][21+31n][18+27n][25+36n][3+5n][14+21n][19+28n][16+23n][1+2n][11+17n][25+37n][24+35n][12+18n][16+24n][22+32n][9+14n][23+33n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-30-40-39-9-12-16-7-38-22-15-20-41-26-6-8-25-19-11-29-10===42-13-3-4-34-31-27-36-5-21-28-23-2-17-37-35-18-24-32-14-33

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 30 modulo 43 

Calcul de 1/43 en base 33+43n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 33+43n. La série est alors :

1-33-14-32-24-18-35-37-17-2-23-28-21-5-36-27-31-34-4-3-13===42-10-29-11-19-25-8-6-26-41-20-15-22-38-7-16-12-9-39-40-30

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 30+43n.

Calculons 1/43 en base : 33, 76, 119, ...(33+43n) :

1/43 en base 33 = 0,0-25-10-24-18-13-26-28-13-1-17-21-16-3-27-20-23-26-3-2-9===32-7-22-8-14-19-6-4-19-31-15-11-16-29-5-12-9-6-29-30-23...

1/43 en base 76 = 0,1-58-24-56-42-31-61-65-30-3-40-49-37-8-63-47-54-60-7-5-22===74-17-51-19-33-44-14-10-45-72-35-26-38-67-12-28-21-15-68-70-53...

1/43 en base 119 = 0,2-91-38-88-66-49-96-102-47-5-63-77-58-13-99-74-85-94-11-8-35===116-27-80-30-52-69-22-16-71-113-55-41-60-105-19-44-33-24-107-110-83...

Et de manière générale en base 33+43n :

[n][25+33n][10+14n][24+32n][18+24n][13+18n][26+35n][28+37n][13+17n][1+2n][17+23n][21+28n][16+21n][3+5n][27+36n][20+27n][23+31n][26+34n][3+4n][2+3n][9+13n]===[32+42n][7+10n][22+29n][8+11n][14+19n][19+25n][6+8n][4+6n][19+26n][31+41n][15+20n][11+15n][16+22n][29+38n][5+7n][12+16n][9+12n][6+9n][29+39n][30+40n][23+30n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-33-14-32-24-18-35-37-17-2-23-28-21-5-36-27-31-34-4-3-13===42-10-29-11-19-25-8-6-26-41-20-15-22-38-7-16-12-9-39-40-30

Qui partage le cercle en 43 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 33 modulo 43 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 30+43n.

Constatons que 30x33 admet 1 pour reste dans la division par 43 et qu'ils sont alors inverses dans Z43