Pourquoi les périodes de n/47 en base 5+47n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-31-14-23-21-11-8-40-12-13-18-43-27-41-17-38-2-10-3-15-28===46-42-22-16-33-24-26-36-39-7-35-34-29-4-20-6-30-9-45-37-44-32-19

Calculons 1/47 en base 5+47n (5, 52, 99, ...) :

1/47 en base 5 = 0,00231221041114241401012===44213223403330203043432...

1/47 en base 52 = 0,1-5-27-34-15-25-23-12-8-44-13-14-19-47-29-45-18-42-2-11-3-16-30===50-46-24-17-36-26-28-39-43-7-38-37-32-4-22-6-33-9-49-40-48-35-21...

1/47 en base 99 = 0,2-10-52-65-29-48-44-23-16-84-25-27-37-90-56-86-35-80-4-21-6-31-58===96-88-46-33-69-50-54-75-82-14-73-71-61-8-42-12-63-18-94-77-92-67-40...

Et de manière générale en base 5+47n :

[n][5n][2+25n][3+31n][1+14n][2+23n][2+21n][1+11n][8n][4+40n][1+12n][1+13n][1+18n][4+43n][2+27n][4+41n][1+17n][4+38n][2n][1+10n][3n][1+15n][2+28n]===[4+46n][4+42n][2+22n][1+16n][3+33n][2+24n][2+26n][3+36n][4+39n][7n][3+35n][3+34n][3+29n][4n][2+20n][6n][3+30n][9n][4+45n][3+37n][4+44n][3+32n][2+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-25-31-14-23-21-11-8-40-12-13-18-43-27-41-17-38-2-10-3-15-28===46-42-22-16-33-24-26-36-39-7-35-34-29-4-20-6-30-9-45-37-44-32-19

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 19+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 19+47n. La série est alors :

1-19-32-44-37-45-9-30-6-20-4-29-34-35-7-39-36-26-24-33-16-22-42===46-28-15-3-10-2-38-17-41-27-43-18-13-12-40-8-11-21-23-14-31-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+47n.

Calculons 1/47 en base : 19, 66, 113, ...(19+47n) :

1/47 en base 19 = 0,0-7-12-17-14-18-3-12-2-8-1-11-13-14-2-15-14-10-9-13-6-8-16===18-11-6-1-4-0-15-6-16-10-17-7-5-4-16-3-4-8-9-5-12-10-2...

1/47 en base 66 = 0,1-26-44-61-51-63-12-42-8-28-5-40-47-49-9-54-50-36-33-46-22-30-58===64-39-21-4-14-2-53-23-57-37-60-25-18-16-56-11-15-29-32-19-43-35-7...

1/47 en base 113 = 0,2-45-76-105-88-108-21-72-14-48-9-69-81-84-16-93-86-62-57-79-38-52-100===110-67-36-7-24-4-91-40-98-64-103-43-31-28-96-19-26-50-55-33-74-60-12...

Et de manière générale en base 19+47n :

[n][7+19n][12+32n][17+44n][14+37n][18+45n][3+9n][12+30n][2+6n][8+20n][1+4n][11+29n][13+34n][14+35n][2+7n][15+39n][14+36n][10+26n][9+24n][13+33n][6+16n][8+22n][16+42n]===[18+46n][11+28n][6+15n][1+3n][4+10n][2n][15+38n][6+17n][16+41n][10+27n][17+43n][7+18n][5+13n][4+12n][16+40n][3+8n][4+11n][8+21n][9+23n][5+14n][12+31n][10+25n][2+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-19-32-44-37-45-9-30-6-20-4-29-34-35-7-39-36-26-24-33-16-22-42===46-28-15-3-10-2-38-17-41-27-43-18-13-12-40-8-11-21-23-14-31-25-5

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+47n.

Constatons que 5x19 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47