Pourquoi les périodes de n/47 en base 10+47n se regroupent elles en cette série ?

1-10-6-13-36-31-28-45-27-35-21-22-32-38-4-40-24-5-3-30-18-39-14===46-37-41-34-11-16-19-2-20-12-26-25-15-9-43-7-23-42-44-17-29-8-33

Calculons 1/47 en base 10+47n (10, 57, 104, ...) :

1/47 en base 10 = 0,02127659574468085106382===97872340425531914893617...

1/47 en base 57 = 0,1-12-7-15-43-37-33-54-32-42-25-26-38-46-4-48-29-6-3-36-21-47-16===55-44-49-41-13-19-23-2-24-14-31-30-18-10-52-8-27-50-53-20-35-9-40...

1/47 en base 104 = 0,2-22-13-28-79-68-61-99-59-77-46-48-70-84-8-88-53-11-6-66-39-86-30===101-81-90-75-24-35-42-4-44-26-57-55-33-19-95-15-50-92-97-37-64-17-73...

Et de manière générale en base 10+47n :

[n][2+10n][1+6n][2+13n][7+36n][6+31n][5+28n][9+45n][5+27n][7+35n][4+21n][4+22n][6+32n][8+38n][4n][8+40n][5+24n][1+5n][3n][6+30n][3+18n][8+39n][2+14n]===[9+46n][7+37n][8+41n][7+34n][2+11n][3+16n][4+19n][2n][4+20n][2+12n][5+26n][5+25n][3+15n][1+9n][9+43n][1+7n][4+23n][8+42n][9+44n][3+17n][6+29n][1+8n][7+33n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-10-6-13-36-31-28-45-27-35-21-22-32-38-4-40-24-5-3-30-18-39-14===46-37-41-34-11-16-19-2-20-12-26-25-15-9-43-7-23-42-44-17-29-8-33

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 33+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 33+47n. La série est alors :

1-33-8-29-17-44-42-23-7-43-9-15-25-26-12-20-2-19-16-11-34-41-37===46-14-39-18-30-3-5-24-40-4-38-32-22-21-35-27-45-28-31-36-13-6-10

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 10+47n.

Calculons 1/47 en base : 33, 80, 127, ...(33+47n) :

1/47 en base 33 = 0,0-23-5-20-11-30-29-16-4-30-6-10-17-18-8-14-1-13-11-7-23-28-25===32-9-27-12-21-2-3-16-28-2-26-22-15-14-24-18-31-19-21-25-9-4-7...

1/47 en base 80 = 0,1-56-13-49-28-74-71-39-11-73-15-25-42-44-20-34-3-32-27-18-57-69-62===78-23-66-30-51-5-8-40-68-6-64-54-37-35-59-45-76-47-52-61-22-10-17...

1/47 en base 127 = 0,2-89-21-78-45-118-113-62-18-116-24-40-67-70-32-54-5-51-43-29-91-110-99===124-37-105-48-81-8-13-64-108-10-102-86-59-56-94-72-121-75-83-97-35-16-27...

Et de manière générale en base 33+47n :

[n][23+33n][5+8n][20+29n][11+17n][30+44n][29+42n][16+23n][4+7n][30+43n][6+9n][10+15n][17+25n][18+26n][8+12n][14+20n][1+2n][13+19n][11+16n][7+11n][23+34n][28+41n][25+37n]===[32+46n][9+14n][27+39n][12+18n][21+30n][2+3n][3+5n][16+24n][28+40n][2+4n][26+38n][22+32n][15+22n][14+21n][24+35n][18+27n][31+45n][19+28n][21+31n][25+36n][9+13n][4+6n][7+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-33-8-29-17-44-42-23-7-43-9-15-25-26-12-20-2-19-16-11-34-41-37===46-14-39-18-30-3-5-24-40-4-38-32-22-21-35-27-45-28-31-36-13-6-10

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 33 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 10+47n.

Constatons que 10x33 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47